Czym są równania Maxwella i jak są definiowane?

Anioł Zamora Ramirez | Lip. 2022
Dyplom z fizyki

Przed tymi równaniami mówiono, że siły elektryczne i magnetyczne są „siłami na odległość”, nie były znane żadne fizyczne środki, za pomocą których doszłoby do tego typu oddziaływania. Po wielu latach badań nad Elektryczność Tak magnetyzmMichael Faraday intuicyjnie wyczuł, że w przestrzeni pomiędzy ładunkami i prądami elektrycznymi musi być coś fizycznego, co pozwoliłoby im na interakcję ze sobą i manifestację wszystkich Zjawiska elektryczne i magnetyczne, które były znane, początkowo nazywał je „liniami siły”, co doprowadziło do idei istnienia pola elektromagnetycznego.

Opierając się na pomyśle Faradaya, James Clerk Maxwell rozwija teorię pola reprezentowaną przez cztery równania różniczkowe cząstkowe. Maxwell określił to jako „teorię elektromagnetyczną” i jako pierwszy włączył ten rodzaj języka matematycznego do teorii fizycznej. Równania Maxwella w ich postaci różniczkowej dla próżni (to znaczy przy braku materiałów dielektrycznych i/lub polaryzowalnych) są następujące:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\częściowy t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\częściowy \vec{E}}{\częściowy t}\)
Równania Maxwella dla próżni w jej postaci różniczkowej

Gdzie \(\vec{E}~\)to pole elektryczne, \(\vec{B}~\)to pole magnetyczne, \(\rho ~\)to gęstość ładunek elektryczny, \(\vec{J}~~\)jest wektorem powiązanym z a prąd elektryczny, \({{\epsilon }_{0}}~\)to przenikalność elektryczna próżni, a \({{\mu }_{0}}~~\)to przenikalność magnetyczna próżni. Każde z tych równań odpowiada a prawo elektromagnetyzmu i ma znaczenie. Poniżej krótko wyjaśnię każdy z nich.

Prawo Gaussa

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

To pierwsze równanie mówi nam, że ładunki elektryczne są źródłami pola elektrycznego, to pole elektryczne „odbiega” bezpośrednio od ładunków. Co więcej, kierunek pola elektrycznego jest podyktowany znakiem wytwarzającego je ładunku elektrycznego, a to, jak blisko są linie pola, wskazuje wielkość samego pola. Poniższy obrazek nieco podsumowuje to, o czym właśnie wspomniano.

Ilustracja 1. Ze Studiowork.- Schemat pól elektrycznych generowanych przez dwa ładunki punktowe, jeden dodatni i jeden ujemny.

Prawo to zawdzięcza swoją nazwę matematykowi Johannowi Carlowi Friedrichowi Gaussowi, który sformułował je na podstawie swojego twierdzenia o rozbieżności.

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

Prawo to nie ma konkretnej nazwy, ale jest tak nazywane ze względu na podobieństwo do poprzedniego równania. Znaczenie tego wyrażenia jest takie, że nie ma "ładunku magnetycznego" analogicznego do "ładunku elektrycznego", to znaczy nie ma monopoli magnetycznych będących źródłem pola magnetycznego. To jest powód, dla którego jeśli przełamiemy magnes na pół, nadal będziemy mieli dwa podobne magnesy, oba z biegunem północnym i południowym.

Prawo Faradaya

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\częściowy t}\)
Prawo indukcji Faradaya

Jest to słynne prawo indukcji sformułowane przez Faradaya, kiedy w 1831 roku odkrył, że zmienne pola magnetyczne mogą indukować prądy elektryczne. To równanie oznacza, że ​​zmieniające się w czasie pole magnetyczne może indukować wokół niego pole elektryczne, które z kolei może powodować przemieszczanie się ładunków elektrycznych i tworzenie strumień. Chociaż na początku może to brzmieć bardzo abstrakcyjnie, prawo Faradaya stoi za pracą silników, gitar elektrycznych i indukcyjnych płyt kuchennych.

Prawo Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\częściowy \vec{E}}{\częściowy t}\)

Pierwszą rzeczą, jaką mówi nam to równanie, jest to, że prądy elektryczne wytwarzają pola magnetyczne wokół kierunku prądu i że wielkość generowanego pola magnetycznego zależy od wielkości tego, to właśnie zaobserwował Oersted i że później Ampère był w stanie formułować. Jednak za tym równaniem kryje się coś ciekawego, a mianowicie to, że drugi wyraz z boku prawo równania zostało wprowadzone przez Maxwella, ponieważ wyrażenie to było pierwotnie niespójne z innymi w szczególności doprowadziło to do naruszenia prawa zachowania ładunku elektrycznego. Aby tego uniknąć, Maxwell po prostu wprowadził ten drugi termin, aby cała jego teoria była spójna, ten termin otrzymał nazwę „prąd przemieszczenia” i w tym czasie nie było na to dowodów eksperymentalnych. zrobi kopię zapasową

Ilustracja 2. De Rumruay.- Prąd elektryczny płynący przez kabel wytwarza wokół niego pole magnetyczne zgodnie z prawem Ampère'a.

Znaczenie prądu przesunięcia jest takie samo, jak w przypadku pola magnetycznego zmienna indukuje pole elektryczne, zmieniające się w czasie pole elektryczne jest w stanie wygenerować pole magnetyczny. Pierwszym eksperymentalnym potwierdzeniem prądu przesunięcia było wykazanie istnienia fal elektromagnetycznych Heinricha Hertza w 1887 roku, ponad 20 lat po opublikowaniu teorii Maxwella. Jednak pierwszego bezpośredniego pomiaru prądu przesunięcia dokonał M. R. Van Cauwenberghe w 1929 roku.

światło jest falą elektromagnetyczną

Jedną z pierwszych zadziwiających przewidywań dokonanych przez równania Maxwella jest istnienie fale elektromagnetyczne, ale nie tylko to, ujawnili też, że światło musiało być falą tego Rodzaj. Aby to nieco zobaczyć, pobawimy się równaniami Maxwella, ale przedtem oto forma dowolnego równania falowego:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\częściowy {{ t}^{2}}}\)
Ogólna postać równania falowego w trzech wymiarach.

Gdzie \({{\nabla }^{2}}\) to operator Laplace'a, \(u\) to funkcja falowa, a \(v\) to prędkość fali. Będziemy również pracować z równaniami Maxwella w pustej przestrzeni, czyli przy braku ładunków elektrycznych i prądów elektrycznych, tylko pola elektryczne i magnetyczne:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\częściowy t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Użyjemy również następujących tożsamość rachunek wektorowy:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \czas{A}\)

Jeśli zastosujemy tę tożsamość do pól elektrycznych i magnetycznych za pomocą równań Maxwella dla pustej przestrzeni powyżej, otrzymamy następujące wyniki:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\częściowy {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\częściowy {{t}^{2}}}\)

Zwróć uwagę na podobieństwo tych równań do powyższego równania falowego, w wniosek, pola elektryczne i magnetyczne mogą zachowywać się jak fale (fale elektromagnetyczne). Jeśli zdefiniujemy prędkość tych fal jako \(c\) i porównamy te równania z powyższym równaniem falowym, możemy powiedzieć, że prędkość wynosi:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) i \({{\epsilon }_{0}}\) są odpowiednio przenikalnością magnetyczną i przenikalnością elektryczną próżni i obie są stałymi uniwersalne, których wartości to \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) i \({{\ epsilon } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), podstawiając te wartości, otrzymujemy, że wartość \(c\) wynosi \(c=299 792 458\frac{m}{s}\ok 300 000~km/s\), co jest dokładnie prędkością światło.

Z tej małej analizy możemy wyciągnąć trzy bardzo ważne wnioski:

1) Pola elektryczne i magnetyczne mogą zachowywać się jak fale, to znaczy istnieją fale elektromagnetyczne, które są również zdolne do rozprzestrzeniania się w próżni.

2) Światło to fala elektromagnetyczna, której prędkość zależy od przepuszczalności i przenikalności magnetycznej ośrodka, przez który się rozchodzi, w pustej przestrzeni światło ma prędkość w przybliżeniu 300 000 km/s.

3) Ponieważ przenikalność magnetyczna i przenikalność elektryczna są uniwersalnymi stałymi, to prędkość światła jest również stałą uniwersalną, ale oznacza to również, że jej wartość nie zależy z struktura z którego jest mierzony.

To ostatnie stwierdzenie było wówczas bardzo kontrowersyjne.Jak to możliwe, że prędkość światło jest takie samo niezależnie od ruchu osoby mierzącej je i ruchu źródła światła. światło? Szybkość czegoś musi być względna, prawda? Cóż, był to przełom w ówczesnej fizyce i ten prosty, ale głęboki fakt doprowadził do opracowania Teorii Szczególnej Teorii Względności przez Alberta Einsteina w 1905 roku.