Jaka jest hierarchia operacji?

Hierarchia operacji to konwencja matematyczna określająca kolejność, w jakiej należy wykonywać połączone działania obliczeniowe to samo stwierdzenie matematyczne, to znaczy, gdy istnieje stwierdzenie matematyczne, w którym występują operacje matematyczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgi i pierwiastki) razem, muszą być wykonane w określonej kolejności, aby uzyskać wynik wspólny.

Ale dlaczego potrzebna jest hierarchia? Aby na nie odpowiedzieć, musimy najpierw dobrze zrozumieć naturę działań matematycznych, które polegają na przekształceniu zastosowanym do elementów zbioru. Pomyślmy na przykład o zbiorze liczb rzeczywistych, czyli o liczbach, które wszyscy znamy. Jeśli weźmiemy liczbę a i dodamy ją do innej liczby b, otrzymamy inną liczbę c, która należy do tego samego zbioru liczb rzeczywistych, czyli:

a+b = c

Ponadto kolejność, w jakiej prezentowane są addendy, nie ma wpływu na wynik końcowy, czyli tzw a+b = b+a, ta właściwość nazywa się przemiennością. Ważne jest, aby mówić o dodawaniu, ponieważ jest to podstawowa operacja, z której wywodzą się wszystkie inne. Mnożenie to nic innego jak seria powtarzających się dodawań. Jeśli znowu mamy liczbę a i mnożymy ją przez liczbę b, czasami dodajemy liczbę b sama do siebie lub, alternatywnie, dodajemy b razy liczbę a samą siebie. To drugie jest tak, ponieważ mnożenie jest przemienne jak dodawanie, co oznacza, że:

a⋅b = b⋅a. Powyższe można wyrazić jako:

Możemy to łatwo zobrazować na przykładzie. Zróbmy mnożenie 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

A co jeśli musimy wykonać operację, w której połączyliśmy dodawanie z mnożeniem? Na przykład: a⋅b+c. W jakiej kolejności należy wykonywać dodawanie i mnożenie? Której operacji musimy dać pierwszeństwo? Gdybyśmy najpierw wykonali mnożenie i rozwinęli je jako sumę, mielibyśmy:

Teraz, gdybyśmy najpierw wykonali dodawanie, a następnie mnożenie, otrzymalibyśmy:

Ponieważ dodawanie jest przemienne, możemy przegrupować prawą stronę równania, aby otrzymać:

Porównując wyniki uzyskane w obu sytuacjach łatwo zauważyć, że:

Wnioskujemy więc, że kolejność, w jakiej postanowiono przeprowadzić operacje, wpływa na uzyskany wynik. To samo dzieje się, gdy angażujemy moce. Kiedy podnosimy liczbę b do potęgi c, mnożymy c razy liczbę b przez siebie samą, czyli:

Teraz przystąpimy do wykonania następującej złożonej operacji obejmującej mnożenie i potęgowanie a⋅b^C w innej kolejności niż w poprzednim przypadku. Jeśli najpierw nadamy priorytet władzy, mamy:

Teraz, gdybyśmy najpierw wykonali mnożenie, a następnie potęgowanie, mielibyśmy:

Korzystając z przemienności mnożenia, możemy przegrupować prawą stronę równania jako:

Ponownie możemy porównać wyniki uzyskane wykonując działania w innej kolejności, aby zdać sobie sprawę, że:

Również w tym przypadku kolejność wykonywania operacji wpływa na uzyskany wynik. Jaka jest więc kolejność wykonywania operacji? Hierarchia operacji ustala, że ​​potęgi są na wyższym poziomie hierarchii niż mnożenia, w taki sposób, że potęgi mają pierwszeństwo w wyrażeniu matematycznym. Z kolei mnożenia mają wyższy poziom hierarchii niż dodawania.

Ale co z odejmowaniem, dzieleniem i pierwiastkami? Odejmowanie jest odwrotną operacją dodawania, gdy odejmujemy liczbę b od liczby a, otrzymujemy inną liczbę c taką, że c+b=a. Coś podobnego dzieje się z dzieleniem i odejmowaniem. Jeśli podzielimy liczbę a przez liczbę b i otrzymamy w rezultacie liczbę c, to znajdziemy taką liczbę, że b⋅c=a. I wreszcie, obliczając pierwiastek b z liczby a, znajdujemy taką liczbę c, że c^B= za. Te równoważności umieszczają odejmowanie, dzielenie i pierwiastek na tym samym poziomie hierarchii, co odpowiednio dodawanie, mnożenie i potęga.

Praktyki stosowania nawiasów i nawiasów

Co się stanie, jeśli chcemy nadać priorytet niektórym operacjom w wyrażeniu matematycznym, niezależnie od ich poziomu hierarchii? W tym celu stosuje się nawiasy okrągłe i kwadratowe. Załóżmy, że mamy stwierdzenie zasady a⋅b+c. Z tego, co powiedzieliśmy wcześniej, wiemy już, że najpierw musimy wykonać mnożenie, a następnie dodawanie. Ale co, gdybyśmy chcieli, żeby tak nie było? Aby to zrobić, musielibyśmy użyć nawiasów okrągłych lub kwadratowych, aby oddzielić dodawanie od mnożenia, a tym samym dać pierwszeństwo obliczeniu dodawania, czyli: a⋅(b+c). Powoduje to, że instrukcje oddzielone nawiasami i nawiasami kwadratowymi mają najwyższy priorytet nad wszystkimi innymi operacjami.

Biorąc pod uwagę wszystko, co zostało powiedziane powyżej, hierarchia operacji lub kolejność ich wykonywania jest następująca:

1) Nawiasy i nawiasy
2) Potęgi i pierwiastki
3) Mnożenia i dzielenia
4) Dodawanie i odejmowanie

Bibliografia

H. Behnke, F. Bachmann, K. Fladt, W. Suss, H. Gerik, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. H. Gould. (1983). Podstawy matematyki: tom I. Cambridge, Massachusetts i Londyn: The MIT Press.