Definicja funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zmiennej rzeczywistej, której postać jest wyrażona.

\(f\lewo( x \prawo) = a{x^2} + bx + c\)

Gdzie zmienna to \(x\), \(a, b\) i c są stałymi rzeczywistymi, zwanymi współczynnikami funkcji kwadratowej z \(a \ne 0.\)

Tabela przedstawia ogólne przykłady funkcji kwadratowych i sytuacji, które mogą modelować, aby później zilustrować ich bezpośrednie zastosowanie na podstawie rzeczywistych problemów.

Funkcja kwadratowa	Sytuacja, którą możesz modelować
\(f\lewo( x \prawo) = {x^2}\)	Zmienna \(y\) to pole kwadratu, którego bok ma wymiary \(x\).
\(f\lewo( x \prawo) = \pi {x^2}\)	Zmienna \(y\) to pole koła, którego promień wynosi \(x\).
\(f\lewo( x \prawo) = 100 – 4,9{x^2}\)	Zmienna \(y\) to wysokość obiektu, który spadł z wysokości 100, a \(x\) to czas, który upłynął.
\(f\lewo( x \right) = 60\lewo( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Zmienna \(y\) to wysokość kuli armatniej rzuconej pod kątem 45° z prędkością 60 m/s, a \(x\) to czas, który upłynął.

Wzór ogólny i funkcja kwadratowa

Jeśli dla \(x = \alpha \) funkcja kwadratowa wynosi zero, to liczba to \(\alpha \) nazywana jest pierwiastkiem funkcji kwadratowej, tak, \(\alpha \) jest rozwiązaniem równania kwadratowego

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Ogólny wzór na rozwiązanie równań kwadratowych, który mamy, że pierwiastki funkcji kwadratowej to:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Z powyższego wynika następująca zależność między pierwiastkami a współczynnikami funkcji kwadratowej:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Poprzez godne uwagi produkty ustalana jest następująca tożsamość:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

W sposób podobny do ustalonego we wzorze ogólnym ustalono, że funkcję kwadratową można wyrazić w postaci:

\(f\lewo( x \prawo) = a{\lewo( {x – h} \prawo)^2} + k\)

Z \(h = – \frac{b}{{2a}}\) i \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Rozwiązując równanie:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Uzyskuje się:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Z powyższego można wywnioskować, że \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), tylko jeśli stałe \(k\) i \(a\) są z przeciwnych znakach, ta funkcja kwadratowa ma pierwiastki rzeczywiste, którymi są: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Jeśli stałe \(k\) i \(a\) mają ten sam znak, to funkcja kwadratowa nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Gdy \(k = 0,\;\;\) funkcja kwadratowa ma tylko jeden pierwiastek.

Przykłady zastosowane w prawdziwym życiu

Przykład zastosowania 1: Ekonomia

Szkoła chce zorganizować turniej piłki nożnej, w którym każda drużyna gra z każdą z pozostałych drużyn tylko raz. Istnieje budżet w wysokości 15 600 USD na koszty arbitrażu, jeśli koszt arbitrażu wynosi 200 USD na grę. Ile drużyn może zgłosić się do turnieju?

Sformułowanie problemu: Musimy znaleźć funkcję, która oblicza liczbę dopasowań, gdy mamy \(n\) drużyn, aby je policzyć, przyjmiemy założenie, że drużyna 1 gra jako pierwsza ze wszystkimi pozostałymi, czyli \(n – 1\) mecze. Drużyna 2 grałaby teraz z całą resztą, czyli z \(n – 2\), ponieważ grałaby już z drużyną 1. Drużyna 3 grała już z drużynami 1 i 2, więc musiałaby grać z n-3 drużynami.

Z powyższym rozumowaniem dochodzimy do:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Funkcja kosztu to:

\(C\lewo( n \prawo) = 200f\lewo( n \prawo) = 100n\lewo( {n – 1} \prawo)\)

Mając budżet w wysokości 15 600 USD, mamy równanie:

\(100n\lewo( {n – 1} \prawo) = 15600\)

rozwiązanie równania

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Sytuacja początkowa
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Podziel każdą stronę równania przez 100
\({n^2} – n – 156 = \) Dodaj \( – 156\) po obu stronach równania
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Mamy \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) i \( – 13 + 12 = – 1\)
Zostało to uwzględnione.
Rozwiązania równania \(n = – 12,\;13\)
Odpowiedź: Budżet wystarczy na zarejestrowanie 13 drużyn.

Przykład zastosowania 2: Ekonomia

Miejskie przedsiębiorstwo transportu autobusowego zauważyło, że w ciągu ośmiogodzinnego dnia każdy z jego autobusów przewozi średnio tysiąc pasażerów. Aby móc zapewnić swoim pracownikom podwyżkę, musisz podnieść opłatę, która obecnie wynosi 5 USD; Ekonomista wyliczył, że za każde peso, o które wzrośnie opłata, każda ciężarówka straci średnio 40 pasażerów dziennie. Firma obliczyła, że ​​aby pokryć podwyżkę wynagrodzenia, musi codziennie otrzymywać dodatkowe 760 USD na ciężarówkę. O ile musi wzrosnąć opłata za przejazd?

Sformułowanie problemu: Niech \(x\) będzie kwotą pesos, o jaką wzrośnie bilet, gdzie \(5 + x\) to nowy koszt biletu. Przy takim samym wzroście każda ciężarówka będzie przewozić średnio \(1000 – 40x\) pasażerów dziennie.

Ostatecznie przychód na ciężarówkę wynosi:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \po prawej)\)

Aby pokryć podwyżkę pensji, każdy autobus musi zebrać: \(1000\lewo( 5 \prawo) + 760 = 5760\)

Wreszcie mamy równanie:

\( – 40\lewo( {x + 5} \prawo)\lewo( {x – 25} \prawo) = 5760\)

rozwiązanie równania
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Sytuacja początkowa
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Podziel przez \( – 40\) każdą stronę równania
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Opracowano niezwykły produkt
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 zostało dodanych do każdego
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Mamy \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ po prawej) = 19\) i \( – 19 – 1 = – 20\)
uwzględnione
Rozwiązania równania \(n = 1,19\)
Odpowiedź: Cena biletu może wzrosnąć o 1 dolara lub 19 pesos.

Przykład zastosowania 3: Ekonomia

Sklep z pieczywem sprzedaje średnio 1200 bułek tygodniowo po 6 dolarów za sztukę. Pewnego dnia postanowił podnieść cenę do 9 dolarów za sztukę; teraz jej sprzedaż spadła: sprzedaje średnio tylko 750 rolek tygodniowo. Jaka powinna być cena każdej bułki, aby przychód sklepu był jak najwyższy? Załóżmy, że istnieje liniowa zależność między popytem a ceną.

Sformułowanie problemu: Zakładając, że istnieje liniowa zależność między popytem D a ceną \(x,\).

\(D = mx + b\)

Gdy \(x = 6;D = 1200;\;\) co generuje równanie:

\(1200 = 6m + b\)

Gdy \(x = 9;D = 750;\;\) lo i otrzymamy równanie:

\(750 = 9m + b\)

Rozwiązując układ równań, związek między popytem a ceną jest następujący:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\lewo( {x – 14} \prawo)\)

Dochód jest równy

\(I\lewo( x \prawo) = Dx = – 150x\lewo( {x – 14} \prawo)\)

Rozwiązanie

Wykres dochodu w paraboli, która jest skierowana w dół, a jego maksymalna wartość jest osiągana w wierzchołku na które można znaleźć, uśredniając pierwiastki funkcji kwadratowej, która modeluje dochód. Pierwiastki to \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

Odpowiedź

Maksymalny przychód wynosi 7350 USD i jest osiągany przy cenie 7 USD; sprzedaje średnio 1050 rolek tygodniowo.

Przykład zastosowania 4: Ekonomia

Koszt wyprodukowania \(n\) krzeseł w ciągu jednego dnia można obliczyć za pomocą funkcji kwadratowej:

\(C\lewo( n \prawo) = {n^2} – 200n + 13000\)

Określ minimalny koszt, który można osiągnąć.

Oświadczenie o problemie

Wykres \(C\left( n \right)\) jest parabolą, która otwiera się w górę i osiąga swoje minimum w \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ lewo( { – 200} \prawo)}}{{2\lewo( 1 \prawo)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Odpowiedź

Najniższy możliwy koszt wynosi 3000 USD i osiągany jest poprzez wyprodukowanie 100 krzeseł.

Przykład zastosowania 5: Geometria

Romb ma powierzchnię 21 cm2; Jeśli suma długości jego przekątnych wynosi 17 cm, jaka jest długość każdej przekątnej rombu?

Sformułowanie problemu: Powierzchnia rombu jest obliczana za pomocą:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Z \(D\) i \(d\) długościami jego przekątnych znane jest również:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Zastępując otrzymujesz:

\(A = \frac{{\left({17 – d} \right) d}}{2}\)

W końcu otrzymujemy równanie

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Rozwiązanie
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Sytuacja początkowa
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Pomnóż przez \( – 40\) każdą stronę równania
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produkt został opracowany.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Mamy \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ po prawej) = 42\) i \( – 14 – 3 = – 17\)
uwzględnione
Rozwiązania równania \(d = 3,14\)
Odpowiedź:

Przekątne rombu mają długości 14 cm i 3 cm.

Przykład zastosowania 6: Geometria

Pożądane jest zbudowanie prostokątnego kurnika o powierzchni 140 m2, wykorzystując dość długie ogrodzenie, które będzie stanowić dno kurnika. Pozostałe trzy boki zostaną zbudowane z 34 metrów bieżących siatki drucianej. Jaka powinna być długość i szerokość kurnika, aby wykorzystać całą siatkę?

Jaki maksymalny obszar można ogrodzić tą samą siatką w tych samych warunkach?

Treść zadania: Zgodnie z diagramem pole jest równe:

\(A\lewo( x \prawo) = x\lewo( {34 – 2x} \prawo) = 2x\lewo( {17 – x} \prawo)\)

Gdzie \(x\) to długość boku prostopadłego do ogrodzenia.

Aby poznać wymiary prostokąta tak, aby miał powierzchnię 140 m2, wystarczy rozwiązać równanie

\(2x\lewo( {17 – x} \prawo) = 140\)

Ponieważ wykres \(A\left( x \right)\) jest parabolą, która otwiera się w dół, aby obliczyć maksymalną wartość pola, wystarczy obliczyć wierzchołek paraboli.

Odpowiedzi
Wymiary prostokąta o powierzchni 140 m2
Długość boku prostopadłego do ogrodzenia

\(x\) Długość boku równoległego do ogrodzenia

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Pierwsza współrzędna wierzchołka to \(h = \frac{{17}}{2}\) i

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Pole powierzchni jest maksymalne, gdy bok prostopadły mierzy \(\frac{{17}}{2}\;\)m, a bok równoległy ma długość 17m, ma on długość 17m, wartość maksymalnego osiągniętego pola wynosi \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Wykres funkcji kwadratowej

Z geometrycznego punktu widzenia pierwiastki to punkty, w których wykres funkcji przecina oś \(x\).

Z wyrażenia

\(f\lewo( x \prawo) = a{\lewo( {x – h} \prawo)^2} + k,\)

Ustalimy ogólną postać wykresu funkcji kwadratowej.

Pierwszy przypadek \(a > 0\) i \(k > 0\)

\(f\lewo( x \prawo) = a{\lewo( {x – h} \prawo)^2} + k\)

\(X\)	\(f\lewo( x \prawo)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

W tym przypadku wykres spełnia:

Symetryczny: Z osią symetrii \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To znaczy \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \po prawej)\)

Znajduje się powyżej osi \(x\) i nie przecina jej. Oznacza to, że \(f\left( x \right) > 0\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Najniższy punkt na wykresie znajduje się w punkcie \(\left( {h, k} \right)\). To jest \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Drugi przypadek \(a < 0\) i \(k < 0\)

\(f\lewo( x \prawo) = a{\lewo( {x – h} \prawo)^2} + k\)

\(X\)	\(f\lewo( x \prawo)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

W tym przypadku wykres spełnia:

Symetryczny: Z osią symetrii \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To znaczy \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \po prawej)\)

Leży poniżej osi \(x\) i nie przecina jej. Oznacza to, że \(f\left( x \right) < 0\) nie ma pierwiastków rzeczywistych. Najwyższy punkt na wykresie znajduje się w punkcie \(\left( {h, k} \right)\). To jest \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Trzeci przypadek \(a > 0\) i \(k \le 0\).

Ten przypadek jest podobny do pierwszego przypadku, różnica polega na tym, że teraz mamy jeden pierwiastek rzeczywisty (kiedy \(k = 0\) ) lub dwa pierwiastki rzeczywiste.

W tym przypadku wykres spełnia:

Symetryczny: Z osią symetrii \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To znaczy \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \po prawej)\)

Przecina oś \(x\), czyli ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Najniższy punkt na wykresie znajduje się w punkcie \(\left( {h, k} \right)\). To jest \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Czwarty przypadek \(a < 0\) i \(k \ge 0\). Ten przypadek jest podobny do przypadku drugiego, z tą różnicą, że teraz mamy jeden pierwiastek rzeczywisty (kiedy \(k = 0\) ) lub dwa pierwiastki rzeczywiste. W tym przypadku wykres spełnia:

Symetryczny: Z osią symetrii \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) To znaczy \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \po prawej)\)

Najniższy punkt na wykresie znajduje się w punkcie \(\left( {h, k} \right)\). To jest \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Wykres funkcji kwadratowej nazywa się parabolą, a jej elementy do podkreślenia to oś symetrii, czyli punkty przecięcia do osi \(x\) i wierzchołka, czyli punktu na wykresie funkcji, w którym osiąga ona najniższy lub najwyższy punkt w zależności od sprawa.

Na podstawie przeprowadzonej analizy możemy stwierdzić:

Parabola związana z funkcją kwadratową \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) ma swój wierzchołek w \(\left( {h, k} \right)\) gdzie :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

przykłady

Funkcja kwadratowa \(y = {x^2}\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\lewo( {0,0} \prawo)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = 0\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	\(\lewo( {0,0} \prawo)\)

Funkcja kwadratowa \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\lewo( {2,0} \prawo)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = 2\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	\(\lewo( {2,0} \prawo)\)

Funkcja kwadratowa \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\lewo( { – 2, – 4} \prawo)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = – 2\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	\(\lewo( { – 4,0} \prawo);\lewo( {0,0} \prawo)\)

Funkcja kwadratowa \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\lewo( {9,8} \prawo)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = 9\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	\(\lewo( {5,0} \prawo);\lewo( {13,0} \prawo)\)

Funkcja kwadratowa \(y = {x^2} + 1\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\lewo( {0,1} \prawo)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = 0\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	Nie ma

Funkcja kwadratowa \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\lewo( {2, – 1} \prawo)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = 2\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	Nie ma

Jeśli istnieją rzeczywiste pierwiastki funkcji kwadratowej, możemy z nich wykreślić powiązaną z nimi parabolę. Załóżmy, że \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

W tym celu należy wziąć pod uwagę następujące kwestie:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Jak

\(k = f\lewo( h \prawo)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta}}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \po prawej)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta} \right)^2}\)

przykłady

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Rozwiązanie

Pierwiastki to \(\alfa = 3\;\) i \(\beta = – 6\); wtedy \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Możemy więc zbudować następującą tabelę

\(f\lewo( x \prawo) = 2\lewo( {x – 3} \prawo)\lewo( {x + 6} \prawo)\)	ważne elementy
Wierzchołek paraboli	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Oś symetrii paraboli	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Punkty przecięcia z osią \(x\).	\(\lewo( { – 6,0} \prawo)\;,\;\lewo( {3,0} \prawo)\)

Aby naszkicować wykres funkcji:

\(f\lewo( x \prawo) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Wykorzystamy te same pomysły, z których już korzystaliśmy; W tym celu najpierw określimy wierzchołek.

W tym przypadku \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Ponieważ \(a > 0\), parabola „otworzy się i \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Następnie obliczymy \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(\left( {3, – 23} \right)\), a ponieważ parabola jest skierowana do góry, to parabola przetnie oś \(x\;\), a jej oś symetrii to \ (x = 3\).

Rozważmy teraz funkcję kwadratową

\(f\lewo( x \prawo) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

W tym przypadku \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Ponieważ \(a < 0\), parabola „otwiera się” w dół i \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Następnie obliczymy \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ po prawej) - 9 = - 4\) Wierzchołek parabola jest w punkcie \(\left( {1, - 4} \right)\) i ponieważ jest skierowana w dół, to parabola nie przecina osi \(x\;\), a jej oś symetrii to \(x = 1.\)