Definicja progresji geometrycznej

Sekwencja liczb \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldotki \); Nazywa się to postępem geometrycznym, jeśli zaczynając od drugiego, każdy element otrzymuje się z pomnożenia poprzedniego przez liczbę \(r\ne 0\), to znaczy, jeśli:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Gdzie:
- Liczba \(r\) nazywana jest stosunkiem postępu geometrycznego.
- Element \({{a}_{1}}\) nazywany jest pierwszym elementem ciągu arytmetycznego.

Elementy postępu geometrycznego można wyrazić za pomocą pierwszego elementu i jego stosunku, czyli:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Są to pierwsze cztery elementy postępu arytmetycznego; ogólnie \(k-\)-ty element wyraża się następująco:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Gdy \({{a}_{1}}\ne 0,~\)z poprzedniego wyrażenia otrzymamy:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Powyższe wyrażenie jest równoważne:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Przykład/ćwiczenie 1. Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​i znajdź elementy \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Rozwiązanie

Ponieważ \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) możemy wywnioskować, że stosunek wynosi:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Przykład/ćwiczenie 2. W ciągu arytmetycznym mamy: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), wyznaczyć stosunek ciągu geometrycznego i zapisać pierwszych 5 elementów.

Rozwiązanie

Ma na sobie

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Aby znaleźć pierwszych 5 elementów postępu arytmetycznego; obliczymy \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4\right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Pierwszych 5 elementów postępu geometrycznego to:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left(-4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\lewo(-4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Przykład/ćwiczenie 3. Cienkie szkło pochłania 2% przechodzącego przez nie światła słonecznego.

Do. Jaki procent światła przejdzie przez 10 takich cienkich szkieł?

B. Jaki procent światła przejdzie przez 20 takich cienkich szkieł?

C. Wyznacz procent światła przechodzącego przez \(n\) cienkie szkła o tych samych właściwościach, umieszczone kolejno.

Rozwiązanie

Za pomocą 1 będziemy reprezentować całkowite światło; absorbując 2% światła, 98% światła przechodzi przez szkło.

Będziemy reprezentować za pomocą \({{a}_{n}}\) procent światła przechodzącego przez szkło \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98\right),~{{a}_{3}}={{\left( 0.98 \right)}^{2}}\left( 0.98 \right),\)

Ogólnie \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

Do. \({{a}_{10}}={{\left(0.98 \right)}^{10}}=0.81707\); co mówi nam, że po szkle 10 przechodzi 81,707% światła

B. \({{a}_{20}}={{\left(0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); co mówi nam, że po kieliszku 20 przechodzi 66,761%

Suma pierwszych \(n\) elementów ciągu geometrycznego

Biorąc pod uwagę postęp geometryczny \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Gdy \(r\ne 1\) jest sumą pierwszych \(n\) elementów, suma:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldokropki +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Można to obliczyć za pomocą

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Przykład/ćwiczenie 4. Z przykładu 2 oblicz \({{S}_{33}}\).

Rozwiązanie

W tym przypadku \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) i \(r=-4\)

zastosowanie

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\lewo(-4 \prawo)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4\right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Przykład/ćwiczenie 5. Załóżmy, że osoba przesyła zdjęcie swojego zwierzaka i udostępnia je trzem znajomym w internetowej sieci społecznościowej, a po godzinie każdy z nich im, udostępnia zdjęcie trzem innym osobom, a następnie ta ostatnia, po kolejnej godzinie, każda z nich udostępnia zdjęcie 3 innym osobom ludzie; Tak to leci; każda osoba, która otrzyma zdjęcie, udostępni je 3 innym osobom w ciągu godziny. Ile osób ma już to zdjęcie za 15 godzin?

Rozwiązanie

Poniższa tabela przedstawia pierwsze obliczenia
Czas Osoby, które otrzymują zdjęcie Osoby, które mają zdjęcie
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Liczba osób, które otrzymają zdjęcie w ciągu godziny \(n\) jest równa: \({{3}^{n}}\)

Liczba osób, które już mają zdjęcie w ciągu godziny jest równa:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldokropki +{{3}^{n}}\)

zastosowanie

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Z \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) i \(n=15\)

W wyniku czego:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

środki geometryczne

Biorąc pod uwagę dwie liczby \(a~\) i \(b,\) liczby \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) nazywane są \(k\) średnimi geometrycznymi liczb \(a~\) i \(b\); jeśli ciąg \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) jest postępem geometrycznym.

Aby poznać wartości \(k\) średnich geometrycznych liczb \(a~\) i \(b\), wystarczy znać stosunek postępu arytmetycznego, w tym celu należy wziąć pod uwagę:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Z powyższego ustalamy zależność:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Rozwiązując dla \(d\), otrzymujemy:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Przykład/ćwiczenie 6. Znajdź 2 średnie geometryczne między liczbami -15 i 1875.

Rozwiązanie

Podczas składania wniosku

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

gdzie \(b=375,~a=-15\) i \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Trzy średnie geometryczne to:

\(75,-375\)

Przykład/ćwiczenie 7. Osoba zainwestowała pieniądze i otrzymywała odsetki co miesiąc przez 6 miesięcy, a jej kapitał wzrósł o 10%. Zakładając, że stopa procentowa nie uległa zmianie, jaka była miesięczna stopa procentowa?

Rozwiązanie

Niech \(C\) będzie zainwestowanym kapitałem; kapitał końcowy to \(1,1C\); Aby rozwiązać zadanie, musimy umieścić 5 średnich geometrycznych, stosując wzór:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

gdzie \(k=5,~b=1,1C\) i \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Otrzymana miesięczna stawka wynosiła \(1,6%\)