Definicja ułamków mieszanych, jednostkowych, jednorodnych i heterogenicznych

Mieszany. Ułamek mieszany składa się z liczby całkowitej większej lub równej jeden i ułamka właściwego, ogólna pisownia ułamka mieszany ma postać: \(a + \frac{c}{d},\) której zapis zwarty to: \(a\frac{c}{d},\;\), czyli: \(a\ ułamek {c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Liczba \(a\) nazywana jest częścią całkowitą ułamka mieszanego, a \(\frac{c}{d}\) jego częścią ułamkową.

jednorodny. Jeśli dwa lub więcej ułamków ma ten sam mianownik, mówi się, że są podobne do ułamków zwykłych. Na przykład ułamki \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) są jednorodne, ponieważ wszystkie mają ten sam mianownik, którym w tym przypadku jest \(4\). Podczas gdy ułamki \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nie są ułamki jednorodne, ponieważ mianownik \(\frac{5}{2}\) to \(2\), a mianownik pozostałych ułamków jest \(4\). Jedną z zalet ułamków jednorodnych jest to, że operacje arytmetyczne dodawania i odejmowania funkcji są bardzo proste.

heterogeniczny. Jeśli dwa lub więcej ułamków, z których co najmniej dwa nie mają tego samego mianownika, to ułamki te nazywamy ułamkami heterogenicznymi. Następujące ułamki są niejednorodne: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

jednolity. Ułamek jest identyfikowany jako jednostka, jeśli licznik jest równy 1 \(1,\) \(2\). Następujące ułamki to przykłady ułamków jednostkowych: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Werbalne wyrażenie ułamka mieszanego

frakcja mieszana	Werbalne wyrażenie
\(3\frac{1}{2} = \)	Całe trzy i pół
\(5\frac{3}{4} = \)	Pięć liczb całkowitych i trzy czwarte
\(10\frac{1}{8} = \)	Dziesięć liczb całkowitych z ósmą

Zamiana ułamka mieszanego na ułamek niewłaściwy

Ułamki mieszane są przydatne do szacowania, na przykład łatwo ustalić:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Jednak ułamki mieszane są zwykle niepraktyczne do wykonywania operacji, takich jak mnożenie i dzielenie, dlatego ważne jest, jak przekonwertować na ułamek mieszany.

Poprzednia cyfra przedstawia ułamek mieszany \(2\frac{3}{4}\), teraz każda liczba całkowita składa się z cztery ćwiartki, więc w 2 liczbach całkowitych jest 8 ćwiartek i do tych musimy dodać pozostałe 3 ćwiartki, czyli mowić:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Ogólnie:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

W poniższej tabeli przedstawiono inne przykłady.

frakcja mieszana	Operacje do wykonania	ułamek niewłaściwy
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Konwersja ułamka niewłaściwego na ułamek mieszany

Aby zamienić ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany, oblicz iloraz i resztę z dzielenia licznika przez mianownik. Otrzymany iloraz będzie częścią całkowitą ułamka mieszanego, a ułamek właściwy będzie miał postać \(\frac{{\rm{reszta}}}}{{{\rm{mianownik}}}}\)

Przykład

Aby zamienić \(\frac{{25}}{7}\) na ułamek mieszany:

Za przeprowadzone operacje uzyskujemy:

Poniższa tabela pokazuje inne przykłady.

ułamek niewłaściwy	Obliczanie ilorazu i reszty	ułamek niewłaściwy
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Codzienne stosowanie ułamków mieszanych i właściwych

W życiu codziennym musimy mierzyć, kupować, porównywać ceny, oferować rabaty; do pomiaru potrzebujemy jednostek miary, a oni nie zawsze oferują całe jednostki produktów i nie zawsze płaci się całą ilością monet za jednostkę.

Na przykład często zdarza się, że niektóre płyny są sprzedawane w pojemnikach, których zawartość wynosi \(\frac{3}{4}\;\) litra, pół galona lub półtora galona. Może kiedy idziesz kupić rurkę, prosisz o \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) i nie musisz podawać jednostki miary, którą w tym przypadku jest cal.

Podstawowe działania na ułamkach podobnych

Suma \(\frac{3}{4}\) i \(\frac{2}{4}\) jest zilustrowana na poniższym schemacie:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Podczas gdy odejmowanie odbywa się w następujący sposób:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Ogólnie dla ułamków jednorodnych:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egipcjanie i frakcje jednostkowe

Kultura egipska osiągnęła niezwykły rozwój technologiczny, a nie byłoby to możliwe bez rozwoju na równi z matematyką. Istnieją ślady historyczne, w których można znaleźć zapisy dotyczące używania ułamków w kulturze egipskiej, ze szczególnym uwzględnieniem, że używali oni tylko ułamków jednostkowych.

Istnieje kilka przypadków, w których zapisanie ułamka jako sumy ułamków jednostkowych jest tak proste, jak

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

W przypadku, gdy \(n = 2q + 1\), czyli nieparzyste, mamy to:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Zilustrujemy to dwoma przykładami.

Aby wyrazić \(\frac{2}{{11}}\); w tym przypadku mamy \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), zatem:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

to jest do powiedzenia,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Aby wyrazić \(\frac{2}{{17}}\); w tym przypadku mamy \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Następnie pokażemy niektóre ułamki jako sumę ułamków jednostkowych,

Frakcja	Wyrażenie jako suma ułamków jednostkowych	Frakcja	Wyrażenie jako suma ułamków jednostkowych
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Korzystając z poprzedniej tabeli możemy dodawać ułamki i wyrażać takie sumy; jako suma ułamków jednostkowych.

Przykłady ułamków heterogenicznych

Przykład 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Przykład 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Wreszcie ten sam ułamek możemy wyrazić jako sumę ułamków jednostkowych w inny sposób, jako:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)