Definicja ułamków równoważnych

O dwóch lub więcej ułamkach mówi się, że są równoważne, jeśli reprezentują tę samą wielkość, to znaczy, jeśli
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
ułamki \(\frac{a}{b}\) i \(\frac{c}{d}\) są uważane za równoważne.

Ułamki równoważne: reprezentacja graficzna

Rozważmy kwadrat, który podzielimy na czwarte, trzecie, ósme i dwunaste części.

Z poprzednich figur zauważamy następujące równoważności:

Jak otrzymać jeden lub kilka równoważnych ułamków?

Istnieją dwie podstawowe metody uzyskiwania ułamka równoważnego danemu ułamkowi.

1. Pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę dodatnią.

Przykłady:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Dzieli go ten sam dodatni wspólny dzielnik licznika i mianownika.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Kiedy w ułamku zarówno licznik, jak i mianownik są podzielone przez ten sam wspólny dzielnik inny niż 1, mówi się, że ułamek został skrócony.

ułamki nieredukowalne

Ułamek nazywamy ułamkiem nieredukowalnym, jeśli największy wspólny dzielnik licznika i mianownika jest równy 1.

Jeśli \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) ułamek \(\frac{a}{b}\) nazywany jest ułamkiem nieredukowalnym.

Biorąc pod uwagę ułamek \(\frac{a}{b}\), aby otrzymać ułamek równoważny temu ułamkowi i który też jest ułamek nieredukowalny licznik i licznik są podzielone przez największy wspólny dzielnik \(a\;\) i \(B.\)

Poniższa tabela przedstawia przykłady ułamków nieredukowalnych i redukowalnych; jeśli jest redukowalny, pokazuje, jak uzyskać nieredukowalny ułamek równoważny.

Frakcja	Największy wspólny dzielnik	Nieskracalny	nieredukowalny ułamek równoważny
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	NIE	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Tak	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	NIE	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Tak	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	NIE	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ułamki równoważne: reprezentacja słowna.

W poniższej tabeli przedstawiono dwa różne sposoby wyświetlania równoważnych informacji z liczbowego punktu widzenia.

Wyrażenie słowne	Równoważna fraza (liczbowo)	Argumentacja
W 1930 roku w Meksyku 4 osoby na 25 osób mówiły językiem ojczystym.	W 1930 roku w Meksyku 16 osób na 100 mówiło językiem ojczystym.	Obie dane pomnożono przez 4
W 1960 roku w Meksyku 104 osoby na 1000 mówiły językiem ojczystym.	W 1960 roku w Meksyku na 125 osób 13 osób mówiło językiem ojczystym	Obie dane podzielono przez 8.

Ułamki równoważne: reprezentacja dziesiętna

Poniższa tabela przedstawia różne liczby dziesiętne i równoważne ułamki, które je reprezentują.

Liczba dziesiętna	Frakcja	ułamek równoważny	Operacje
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \dział 25 = 1\) \(100 \dział 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \dział 2 = 1\) \(10 \dział 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \dział 5 = 29\) \(1000 \dział 5 = 200\)

Ułamki równoważne: przedstawienie w procentach

Poniższa tabela przedstawia różne liczby dziesiętne i równoważne ułamki, które je reprezentują.

Liczba dziesiętna	Frakcja	ułamek równoważny	Operacje
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \dział 20 = 1\) \(100 \dział 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \dział 50 = 3\) \(100 \dział 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \dział 11 = 5\) \(100 \dział 5 = 20\)

Ułamki równoważne: od heterogenicznych do jednorodnych

Biorąc pod uwagę dwa ułamki heterogeniczne \(\frac{a}{b}\) i \(\frac{c}{d}\), możemy znaleźć dwa ułamki jednorodny w taki sposób, że jeden ułamek jest równoważny ułamkowi \(\frac{a}{b}\;\), a drugi ułamkowi \(\frac{c}{d}\).

Następnie pokażemy dwie procedury wykonywania czynności wymienionych w poprzednim akapicie.

zaobserwujmy:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

W poniższej tabeli przedstawiono kilka przykładów.

F. heterogeniczny	Operacje	F. jednorodny
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Wadą tej metody jest to, że w procesie można wytworzyć bardzo duże liczby; W wielu przypadkach można tego uniknąć, jeśli oblicza się najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, a druga metoda opiera się na obliczaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Najmniejsza wspólna wielokrotność w obliczaniu ułamków zwykłych

Następnie przez dwa przykłady, jak uzyskać ułamki jednorodne przy użyciu najmniejszej wspólnej wielokrotności mianowników, która będzie wspólnym mianownikiem ułamków.

Rozważ ułamki: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Najmniejszą wspólną wielokrotnością \(12\) i \(18\) jest \(36\); Teraz

\(36 \dział 12 = 3\)

\(36 \dział 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Rozważmy teraz ułamki: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Najmniejszą wspólną wielokrotnością \(10\), \(14\) i \(3\) jest \(140\); Teraz

\(140 \dział 10 = 14\)

\(140 \dział 14 = 10\)

\(140 \dział 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Z poprzednich liczb zauważamy następujący fakt:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Oto inne przykłady.

F. heterogeniczny	min wspólne mianowniki	Operacje	F. jednorodny
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \dział 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \dział 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \dział 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \dział 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \dział 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)