Definicja równania kwadratowego / kwartalnego

Równanie drugiego stopnia lub, w przypadku jego braku, kwadratowe, ze względu na niewiadomą, wyraża się w postaci:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Gdzie niewiadomą jest \(x\), o ile \(a, b\) i c są stałymi rzeczywistymi, gdzie \(a \ne 0.\)

Istnieje kilka technik rozwiązywania równań kwadratowych, w tym faktoryzacja, w którym to przypadku musimy wziąć pod uwagę następującą właściwość zgodnie z rozdzielczością:

Jeśli iloczyn dwóch liczb wynosi zero, to są dwie możliwości:

1. Oba są równe zeru.
2. Jeśli jeden jest niezerowy, to drugi jest równy zero

Powyższe można wyrazić następująco:
Jeśli \(pq = 0\) to \(p = 0\) lub \(q = 0\).

Praktyczny przykład 1: rozwiąż równanie \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Sytuacja początkowa
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Dodaj 8 do obu stron równania, aby uzyskać \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Pierwiastek kwadratowy uzyskuje się, szukając izolacji \(x.\) 8 jest rozłożone na czynniki i stosowane są własności rodników i potęg.
\(\lewo| x \prawo| = 2\sqrt 2 \)	Otrzymujesz pierwiastek \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Rozwiązaniami \({x^2} – 8\)=0 są:
\(x = – 2\kwadrat 2 ,\;2\kwadrat 2 \)

Praktyczny przykład 2: Rozwiąż równanie \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Sytuacja początkowa
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Pierwiastek kwadratowy z 144 to 12. Identyfikowana jest różnica kwadratów.
\(\lewo( {x + 12} \prawo)\lewo( {x – 12} \prawo) = 0\)	Różnica kwadratów jest uwzględniana
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Rozważamy możliwość, że czynnik \(x + 12\) jest równy 0. Otrzymane równanie jest rozwiązane.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Rozważamy możliwość, że czynnik \(x – 12\) jest równy 0. Otrzymane równanie jest rozwiązane.

Rozwiązania równania \({x^2} – 144 = 0\) to

\(x = – 12,\;12\)

Praktyczny przykład 3: rozwiąż równanie \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Sytuacja początkowa
\(x\lewo( {x + 3} \prawo) = 0\)	\(x\) jest identyfikowane jako wspólny czynnik i przeprowadzana jest faktoryzacja.
\(x = 0\)	Rozważmy możliwość, że czynnik \(x\) jest równy 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Rozważamy możliwość, że czynnik \(x – 12\) jest równy 0. Otrzymane równanie jest rozwiązane.

Rozwiązania równania \({x^2} + 3x = 0\) to:
\(x = – 3,0\)

Praktyczny przykład 4: Rozwiąż równanie \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Sytuacja początkowa
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Pierwiastek kwadratowy z 49 to 7 i \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Zidentyfikowano doskonały trójmian kwadratowy.
\({\lewo( {x – 7} \prawo)^2} = 0\)	Idealny trójmian kwadratowy jest wyrażony jako dwumian kwadratowy.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Rozwiązaniem \({x^2} – 14x + 49 = 0\) jest:
\(x = 7\)

Praktyczny przykład 5: Rozwiąż równanie \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Sytuacja początkowa
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Iloczyn \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\lewo( {10{x^2} – 8x} \prawo) – 15x + 12 = 0\)	Wyraża się jako \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\lewo( {5x – 4} \prawo) – 3\lewo( {5x – 4} \prawo) = 0\)	Zidentyfikuj \(2x\) jako wspólny czynnik w pierwszym dodatku i rozłóż go na czynniki. Zidentyfikuj \( – 3\) jako wspólny czynnik w drugim dodatku i rozłóż go na czynniki.
\(\lewo( {5x – 4} \prawo)\lewo( {2x – 3} \prawo) = 0\)	Rozłóż wspólny czynnik \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Rozważamy możliwość, że współczynnik \(5x – 12\) jest równy 0. Otrzymane równanie jest rozwiązane.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Rozważmy możliwość, że współczynnik \(2x – 3\) jest równy 0. Otrzymane równanie jest rozwiązane.

Rozwiązania \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) to:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktyczny przykład 6: Rozwiąż równanie \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Sytuacja początkowa Trójmian nie jest idealnym kwadratem
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Dodaj -1 do każdej strony równania.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Ponieważ \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) dodając \({2^2}\), otrzymujemy idealny kwadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Dodaj \({2^2}\;\) do każdej strony równania. Lewa strona to idealny kwadrat.
\({\lewo( {x + 2} \prawo)^2} = 3\)	Idealny trójmian kwadratowy jest wyrażony jako dwumian kwadratowy.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Weź pierwiastek kwadratowy z każdej strony równania
\(\lewo| {x + 2} \prawo| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Rozwiąż dla \(x\).

Rozwiązania \({x^2} + 4x + 1 = 0\) to:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktyczny przykład 7: Rozwiąż równanie \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Sytuacja początkowa Trójmian nie jest idealnym kwadratem.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Dodaj 1 do każdej strony równania
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Pomnóż przez każdą stronę równania, aby współczynnik \({x^2}\) był równy 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produkt jest dystrybuowany Ponieważ \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), dodając \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) daje idealnie kwadratowy trójmian.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Dodaj 3 do obu stron równania, aby rozwiązać \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Idealny trójmian kwadratowy jest wyrażony jako dwumian sześcienny.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Weź pierwiastek kwadratowy z każdej strony równania
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Rozwiąż dla \(x\).

Rozwiązania \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) to:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Procedura zastosowana w powyższym równaniu zostanie wykorzystana do znalezienia tak zwanego ogólnego wzoru na rozwiązania kwadratowe.

Ogólny wzór równania drugiego stopnia.

Ogólny wzór równań kwadratowych

W tym rozdziale dowiemy się, jak w sposób ogólny rozwiązać równanie kwadratowe

Mając \(a \ne 0\) rozważmy równanie \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Ponieważ \(a \ne 0\) wystarczy rozwiązać:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Sytuacja początkowa
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Dodaj \( – \frac{c}{a}\) do każdej strony równania.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Ponieważ \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), dodając \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) daje idealnie kwadratowy trójmian.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Lewa strona równania to doskonały kwadratowy trójmian.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Idealny trójmian kwadratowy jest wyrażony jako dwumian kwadratowy. Ułamek algebraiczny jest gotowy.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Weź pierwiastek kwadratowy z każdej strony równania.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Obowiązują radykalne właściwości.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Obowiązują właściwości wartości bezwzględnej.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Do każdej strony równania dodaj \( – \frac{b}{{2a}}\), aby uzyskać \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Ułamek algebraiczny jest gotowy.

Wyraz \({b^2} – 4{a^2}c\) nazywany jest wyróżnikiem równania kwadratowego \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Gdy wyróżnik powyższego równania jest ujemny, rozwiązania są liczbami zespolonymi i nie ma rozwiązań rzeczywistych. Złożone rozwiązania nie będą omawiane w tej notatce.

Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe \(a{x^2} + bx + c = 0\), jeśli \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Wtedy rozwiązania tego równania to:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ekspresja:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Nazywa się to ogólnym wzorem równania kwadratowego.

Praktyczny przykład 8: rozwiąż równanie \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(Do\)	\(B\)	\(C\)	Dyskryminacyjny	realne rozwiązania
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\lewo( 3 \prawo)\lewo( { – 5} \prawo) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} {6}\)

Rozwiązaniami równania są:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktyczny przykład 9: Rozwiąż równanie \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(Do\)	\(B\)	\(C\)	Dyskryminacyjny	realne rozwiązania
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\lewo( { – 4} \prawo)\lewo( 9 \prawo) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\lewo( {17} \prawo)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Rozwiązaniami równania są:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktyczny przykład 10: Rozwiąż równanie \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(Do\)	\(B\)	\(C\)	Dyskryminacyjny	realne rozwiązania
\(5\)	-4	\(1\)	\({\lewo( { – 4} \prawo)^2} – 4\lewo( 5 \prawo)\lewo( 1 \prawo) = 16 – 20 = – 4\)	Nie ma

Różne równania

Istnieją równania niekwadratowe, które można przekształcić w równania kwadratowe.Zobaczymy dwa przypadki.

Praktyczny przykład 11: Znajdowanie rzeczywistych rozwiązań równania \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Dokonując zamiany zmiennej \(y = \sqrt x \), poprzednie równanie pozostaje w postaci:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\lewo( {2y + 5} \prawo) – \lewo( {2y + 5} \prawo) = 0\)

\(\lewo( {2y + 5} \prawo)\lewo( {3y – 1} \prawo) = 0\)

Dlatego \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Ponieważ \(\sqrt x \) oznacza tylko wartości dodatnie, rozważymy tylko:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Odpowiedź:

Jedynym realnym rozwiązaniem jest:
\(x = \frac{1}{9}\)

Przykład praktyczny 12: Rozwiąż równanie \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Dokonywanie zmiany zmiennej:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Otrzymujemy równanie:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\lewo( {2y – 3} \prawo) + 2\lewo( {2y – 3} \prawo) = 0\)

\(\lewo( {2y – 3} \prawo)\lewo( {3y + 2} \prawo) = 0\)

Możliwe wartości \(y\) to:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Z powyższego rozważymy tylko pozytywne rozwiązanie.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Rozwiązania to \(x = 9.\)