Definicja postępu arytmetycznego

Ciąg liczb \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​nazywamy postępem arytmetycznym, jeśli różnica między dwiema kolejnymi liczbami jest równa tej samej liczbie \(d\), czyli tak:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Liczba \(d\) nazywana jest różnicą postępu arytmetycznego.

Element \({a_1}\) nazywany jest pierwszym elementem ciągu arytmetycznego.

Elementy ciągu arytmetycznego można wyrazić za pomocą pierwszego elementu i jego różnicy, czyli:

\({a_1},{a_1} + d, {a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Są to pierwsze cztery elementy postępu arytmetycznego; Ogólnie rzecz biorąc, \(k – \)-ty element wyraża się następująco:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Z powyższego wyrażenia otrzymujemy:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Powyższe wyrażenie jest równoważne:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Przykłady zastosowane do postępu arytmetycznego

1. Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​i znajdź elementy \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Rozwiązanie

Ponieważ \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) możemy wywnioskować, że różnica jest następująca:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. W ciągu arytmetycznym mamy: \({a_{17}} = 20\;\) i \({a_{29}} = – 130\), wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego i napisz pierwsze 5 elementów.

Rozwiązanie

Ma na sobie

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \lewo( {12} \prawo) d\)

\( – 150 = \lewo( {12} \prawo) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Aby znaleźć pierwszych 5 elementów; obliczymy \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Pierwsze 5 elementów to:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Liczby wielokątne i suma pierwszych \(n\) elementów ciągu arytmetycznego

liczby trójkątne

Liczby trójkątne \({T_n}\;\) są tworzone z ciągu arytmetycznego: \(1,2,3,4 \ldots \); w następujący sposób.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

liczby kwadratowe

Liczby kwadratowe \({C_n}\;\) są tworzone z ciągu arytmetycznego: \(1,3,5,7 \ldots \); następująco

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

liczby pięciokątne

Liczby kwadratowe \({P_n}\;\) są tworzone z ciągu arytmetycznego: \(1,3,5,7 \ldots \); następująco

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Następnie pokażemy wzór na obliczenie sumy pierwszych \(n\) elementów ciągu arytmetycznego.

Biorąc pod uwagę postęp arytmetyczny, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) D\). Aby obliczyć sumę \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) możesz skorzystać ze wzoru:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

co jest równoważne

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Stosując poprzedni wzór, otrzymuje się wzory do obliczania liczb trójkątnych, kwadratowych i pięciokątnych; które przedstawiono w poniższej tabeli.

liczba wielokątna	\({a_1}\)	\(D\)	Formuła
Trójkątny \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Kwadrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pięciokątny \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Przykład na liczbach wielokątnych

3. Z przykładu 2 oblicz \({S_{33}}\).

Rozwiązanie

W tym przypadku \({a_1} = 200\) i \(d = – \frac{{25}}{2}\)

zastosowanie

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\lewo( {400 + 16\lewo( { – 25} \prawo)} \prawo) = 17\lewo( 0 \prawo) = 0\)

średnie arytmetyczne

Biorąc pod uwagę dwie liczby \(a\;\) i \(b,\) liczby \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) nazywamy \(k\) oznacza liczby arytmetyczne \(a\;\) i \(b\); jeśli ciąg \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) jest ciągiem arytmetycznym.

Aby poznać wartości \(k\) średnich arytmetycznych liczb \(a\;\) i \(b\), wystarczy znać różnicę postępu arytmetycznego, w tym celu musi być uważany za:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Z powyższego ustalamy zależność:

\(b = a + \lewo( {k + 2 – 1} \prawo) d\)

Rozwiązując dla \(d\), otrzymujemy:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

przykłady

4. Znajdź 7 średnich arytmetycznych między liczbami -5 i 25.

Rozwiązanie

Podczas składania wniosku

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

gdzie \(b = 25,\;a = – 5\) i \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 średnich arytmetycznych to:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Jedna osoba dała 2000 $ jako zaliczkę na zakup lodówki, a resztę zapłaciła kartą kredytową przez 18 miesięcy bez odsetek. Musi płacić 550 dolarów miesięcznie, aby spłacić dług, który nabył, aby zapłacić za swoją lodówkę.

Do. Jaki jest koszt lodówki?

B. Jeśli zapłaciłeś resztę w ciągu 12 miesięcy bez odsetek, ile wyniosłaby miesięczna płatność?

Rozwiązanie

Do. W tym przypadku:

\({a_{19}} = 2000 + 18\lewo( {550} \prawo)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

B. Między liczbami 2000 a 11900 musimy znaleźć 11 średnich arytmetycznych, dla których:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Biorąc pod uwagę ciąg \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) znajdź następujące 3 elementy i ogólne wyrażenie elementu \(n\).

Rozwiązanie

Ciąg, o którym mowa, nie jest ciągiem arytmetycznym, ponieważ \(22 – 7 \ne 45 – 22\), ale możemy utworzyć ciąg z różnicami dwóch kolejnych elementów, a poniższa tabela pokazuje wyniki:

Elementy ciągu \({b_n}\)	Sekwencja \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Trzecia kolumna powyższej tabeli mówi nam, że ciąg \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); jest ciągiem arytmetycznym, którego różnica wynosi \(d = 8\).

Następnie zapiszemy elementy ciągu \({b_n}\) w kategoriach ciągu \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Ogólnie masz:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Podczas składania wniosku

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Z \({c_1} = 7\) i \(d = 8,\) otrzymujemy:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\lewo( {7 + 4\lewo( {n – 1} \prawo)} \prawo)\)

\({b_n} = n\lewo( {4n + 3} \prawo)\)

Stosując poprzedni wzór: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)