Jak zdefiniowano twierdzenie Talesa?

Z Twierdzenia Talesa, biorąc pod uwagę kilka równoległych prostych, mówi się, że prosta \(T\) jest poprzeczna do prostych równoległych, jeśli przecina każdą z prostych równoległych.

Na rysunku 1 proste \({T_1}\) i \({T_2}\) są poprzeczne do prostych równoległych \({L_1}\) i \({L_2}.\)

Twierdzenie Talesa (wersja słaba)
Jeśli kilka równoleżników określa przystające segmenty (które mierzą to samo) w jednej z ich dwóch linii poprzecznych, określą również przystające segmenty w innych poprzecznych.

Na rysunku 2 czarne linie są równoległe i musisz:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Możemy zapewnić, co następuje:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Mówi się, że mądry Tales z Miletu zmierzył wysokość piramidy Cheopsa, użył do tego cieni i zastosowania właściwości podobieństwa trójkątów. Twierdzenie Talesa ma fundamentalne znaczenie dla rozwoju koncepcji podobieństwa trójkątów.

Stosunki i własności proporcji

Jeden stosunek to iloraz dwóch liczb, których dzielnik jest inny niż zero; to jest do powiedzenia:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{z\;}}b \ne 0\)

Proporcja to równość dwóch stosunków, czyli:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) jest również nazywana stałą proporcjonalności.

Właściwości proporcji

Jeśli \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) to dla \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

przykłady

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Mówi się, że para odcinków \(\overline {AB} \) i \(\overline {CD} \) jest proporcjonalna do odcinków \(\overline {EF} \) i \(\overline {GH} \) jeśli proporcja jest spełniona:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Gdzie \(AB\;\) oznacza długość odcinka \(\overline {AB} .\)

Twierdzenie Talesa

Wracając do definicji, kilka równoleżników określa proporcjonalne odpowiadające sobie segmenty w swoich liniach poprzecznych.

Na rysunku 3 proste są równoległe i możemy zapewnić:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Zauważmy, że pierwsze dwa poprzednie proporcje są równoważne następującym proporcjom:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Powyżej otrzymujemy:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

W wielu przypadkach lepiej jest pracować z wcześniejszymi proporcjami iw tym przypadku:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Odwrotność twierdzenia Talesa

Jeśli kilka linii wyznacza proporcjonalne odpowiadające sobie odcinki na swoich liniach poprzecznych, to linie te są równoległe

Jeśli na rysunku 4 jest spełniony

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Wtedy możemy stwierdzić, że: \({L_1}\równoległy {L_2}\równoległy {L_3}.\)

Notacja \({L_1}\równoległa {L_2}\), odczytana jako \({L_1}\) jest równoległa do \({L_2}\).

Z poprzedniej proporcji otrzymujemy:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Podział odcinka na kilka części o równej długości

Na konkretnym przykładzie zilustrujemy, jak podzielić segment na części o równej długości.

Podziel odcinek \(\overline {AB} \) na 7 segmentów o równej długości

Sytuacja początkowa

Narysuj linię pomocniczą przechodzącą przez jeden z końców segmentu

Za pomocą kompasu na linii pomocniczej narysowano 7 segmentów o równej długości

Narysuj linię łączącą końce ostatnio narysowanego segmentu i drugi koniec segmentu, który ma zostać podzielony

Są one rysowane równolegle do ostatnio narysowanej linii, która przechodzi przez punkty, w których łuki obwodu przecinają się z linią pomocniczą.

Biorąc pod uwagę odcinek \(\overline {AB} \), mówi się, że punkt \(P\) segmentu dzieli odcinek \(\overline {AB} \), w stosunku \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Podział odcinka w zadanym stosunku

Biorąc pod uwagę segment \(\overline {AB} \) i dwie dodatnie liczby całkowite \(a, b\); punkt \(P\), który dzieli odcinek w stosunku \(\frac{a}{b};\;\) można znaleźć w następujący sposób:

1. Podziel odcinek \(\overline {AB} \) na \(a + b\) segmenty o równej długości.
2. Weź \(a\) segmenty licząc od punktu \(A\).

przykłady

Dzielenie odcinka \(\overline {AB} \) w proporcji \(\frac{a}{b}\)

Powód	Liczba części, na które podzielony jest segment	Położenie punktu \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Zastosowane przykłady twierdzenia Talesa

aplikacja 1: Trzy działki rozciągają się od ulicy Sol do ulicy Luna, jak pokazano na rysunku 5.

Granice boczne to odcinki prostopadłe do ul. Luna. Jeżeli całkowita pierzeja działek przy ulicy Solnej wynosi 120 metrów, należy wyznaczyć pierzeję każdej działki przy tej ulicy, jeżeli jest ona również znana:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Oświadczenie o problemie

Ponieważ proste są prostopadłe do Luna Street, to są do siebie równoległe, stosując Twierdzenie Talesa możemy stwierdzić:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Z powyższych możemy stwierdzić:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Podobnie możemy stwierdzić:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć stałą proporcjonalności \(k,\) skorzystamy z własności proporcji:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Z powyższego otrzymujemy:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\lewo( {10} \prawo) = 12.\)

analogicznie:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\lewo( {30} \prawo) = 36\)

Odpowiedź

Człon	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Długość	12m	48m	24m	36m

aplikacja 2: Grafik zaprojektował półkę w kształcie równoległoboku i umieści 3 półki, jak pokazano na rysunku Rysunek 6, punkty E i F to środki boków \(\overline {AD} \) i \(\overline {BC} ,\) odpowiednio. Musisz wykonać nacięcia w półkach, aby móc wykonać zespoły. W której części półek należy wykonać nacięcia?

Sformułowanie problemu: Ze względu na warunki podane w zadaniu spełnione są:

\(ED = EA = CF = BF\)

Jako konstrukcje pomocnicze przedłużymy boki \(\overline {CB} \) i \(\overline {DA} \). Prosta jest poprowadzona przez punkt A do \(A\) i równolegle do boku \(\overline {EB} \) a przez punkt \(C\;\) jest poprowadzona równoległa do boku \(\overline {DF} \).

Użyjemy odwrotnego twierdzenia Talesa, aby pokazać, że odcinki \(\overline {EB} \) i \(\overline {DF} \) są równoległe, aby zastosować twierdzenie Talesa.

Rozwiązanie

Z konstrukcji czworokąt \(EAIB\) jest równoległobokiem, więc mamy EA=BI, ponieważ są to przeciwległe boki równoległoboku. Teraz:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Stosując odwrotność twierdzenia Talesa możemy stwierdzić:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Biorąc odcinki \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) i odcinki BC i CI jako ich poprzeczne; Jak:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Biorąc \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) oraz odcinki \(\overline {AC} \) i \(\overline {EB} \) jako ich przekroje poprzeczne, otrzymamy:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Podobnie pokazano, że:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Odpowiedzi

Cięcia ukośne \(\overline {AC} \) muszą być wykonane w punktach \(G\;\) i \(H\), tak aby:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

To samo dotyczy półek \(\overline {EB} \) i \(\overline {DF} \).