Definicja racjonalizacji radykałów (matematyka)

Racjonalizacja rodników jest procesem matematycznym przeprowadzanym, gdy w mianowniku występuje iloraz z rodnikami lub pierwiastkami. W ten sposób można ułatwić operacje matematyczne w przypadku ilorazów z pierwiastkami i innych typów obiektów matematycznych.

Rodzaje ilorazów z pierwiastkami

Należy wspomnieć o niektórych typach ilorazów z pierwiastkami, które można zracjonalizować. Zanim jednak w pełni przejdziemy do procesu usprawniania, należy pamiętać o kilku ważnych koncepcjach. Załóżmy najpierw, że mamy następujące wyrażenie: \(\sqrt[m]{n}\). To jest pierwiastek \(m\) liczby \(n\), czyli wynikiem tej operacji jest taka liczba, że ​​podniesienie jej do potęgi \(m\) daje nam liczbę \(n\) w rezultacie). Potęga i pierwiastek to operacje odwrotne, w taki sposób, że: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Z drugiej strony warto wspomnieć, że iloczyn dwóch równych pierwiastków jest równy pierwiastkowi z iloczynu, czyli że: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m]{{np}}\). Te dwie właściwości będą naszymi najlepszymi sprzymierzeńcami podczas racjonalizacji.

Najpopularniejszym i najprostszym typem ilorazu z pierwiastkiem, jaki możemy znaleźć, jest:

\(\frac{a}{{b\sqrt c}}\)

Gdzie \(a\), \(b\) i \(c\) mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Proces racjonalizacji w tym przypadku polega na znalezieniu sposobu na uzyskanie w ilorazie wyrażenia \(\sqrt {{c^2}} = c\), aby pozbyć się pierwiastka. W takim przypadku wystarczy pomnożyć przez \(\sqrt c \) zarówno licznik, jak i mianownik:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Pamiętając o tym, co zostało wspomniane powyżej, wiemy, że \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Dlatego ostatecznie otrzymujemy, że:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

W ten sposób zracjonalizowaliśmy poprzednie wyrażenie. To wyrażenie jest niczym więcej niż szczególnym przypadkiem wyrażenia ogólnego, które jest następujące:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}}\)

Gdzie \(a\), \(b\), \(c\) to dowolne liczby rzeczywiste, a \(n\), \(m\) to potęgi dodatnie. Racjonalizacja tego wyrażenia opiera się na tej samej zasadzie, co poprzednie, czyli uzyskaniu wyrażenia \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) w mianowniku. Możemy to osiągnąć, mnożąc przez \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) zarówno licznik, jak i mianownik:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Możemy rozwinąć iloczyn rodników w mianowniku w następujący sposób: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Dlatego zracjonalizowany iloraz pozostaje jako:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – M}}}}\)

Innym rodzajem ilorazu z pierwiastkami, który można zracjonalizować, jest ten, w którym mamy dwumian z pierwiastkami kwadratowymi w mianowniku:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Gdzie \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) i \(e\;\)są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Symbol \( ± \) wskazuje, że znak może być dodatni lub ujemny. Mianownik dwumianowy może mieć oba pierwiastki lub tylko jeden, jednak używamy tego przypadku, aby uzyskać bardziej ogólny wynik. Główna idea przeprowadzenia procesu racjonalizacji w tym przypadku jest taka sama jak w poprzednich przypadkach, tyle że w tym przypadku pomnożymy zarówno licznik, jak i mianownik przez sprzężenie dwumianu znalezionego w mianownik. Koniugat dwumianu to dwumian, który ma te same terminy, ale którego centralny symbol jest przeciwny do pierwotnego dwumianu. Na przykład koniugatem dwumianu \(ux + vy\) jest \(ux – vy\). Biorąc to pod uwagę, mamy wtedy:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Symbol \( \mp \) wskazuje, że znak może być dodatni lub ujemny, ale musi być przeciwny do symbolu mianownika, aby dwumiany zostały sprzężone. Rozwijając mnożenie dwumianów mianownika otrzymujemy, że:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Wreszcie otrzymujemy, że:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

W ten sposób zracjonalizowaliśmy iloraz przez radykał. Te ilorazy z rodnikami są tymi, które ogólnie można zracjonalizować. Następnie zobaczymy kilka przykładów racjonalizacji radykałów.

przykłady

Spójrzmy na kilka przykładów racjonalizacji z ilorazami z pierwiastkami typu wspomnianego powyżej. Załóżmy najpierw, że mamy następujący iloraz:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2}}{{\sqrt 2}} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Załóżmy teraz, że mamy następujący iloraz z pierwiastkiem:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

W tym przypadku mamy pierwiastek szósty z potęgi sześciennej. W poprzedniej sekcji wspomnieliśmy, że jeśli mamy pierwiastek postaci \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) w mianownik, możemy zracjonalizować iloraz, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt[n]{{{c^{n -M}}}}\). Porównując to z przedstawionym tutaj przypadkiem, możemy zauważyć, że \(n = 6\), \(c = 4\) i \(m = 3\), stąd Dlatego możemy zracjonalizować poprzedni iloraz, mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{4^3}}}}}{6}\)

Na koniec załóżmy, że mamy następującą funkcję:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x}}\)

Jak pokazano w poprzedniej sekcji, aby zracjonalizować ten typ ilorazu za pomocą pierwiastków, musisz pomnożyć licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika. W tym przypadku koniugatem mianownika byłby \(x – \sqrt x \). Dlatego wyrażenie byłoby następujące:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Rozwijając mnożenie sprzężonych dwumianów mianownika, otrzymujemy ostatecznie, że:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Bibliografia

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel i Reyes Ricardo. (2009). Arytmetyka. Meksyk: Edukacja Pearson.