Definicja zasady / równania Bernoulliego

Zasada Bernoulliego, często nazywana również równaniem Bernoulliego, jest jednym z najważniejszych pojęć w hydrodynamice i mechanice płynów. Został sformułowany przez szwajcarskiego fizyka i matematyka Daniela Bernoulliego w 1738 roku jako część jego pracy "hydrodynamika” i część zachowania energii w idealnym płynie w ruchu.

Wyobraźmy sobie następującą sytuację: mamy wąż, przez który przepływa woda, która wypływa z węża z określoną prędkością i pod pewnym ciśnieniem. Następnie przystępujemy do częściowego zakrycia otworu wylotowego węża palcem; w ten sposób widzimy, jak woda wypływa teraz z większą prędkością. To jest przykład działania zasady Bernoulliego.

Płyny doskonałe w ruchu

Zasada Bernoulliego odnosi się do płynów idealnych w ruchu, więc zanim przejdziemy do wyjaśnienia tej zasady, ważne jest, aby wspomnieć, co rozumiemy przez płyn idealny. Idealny płyn jest uproszczeniem rzeczywistego płynu, dzieje się tak, ponieważ opis płynu ideał jest matematycznie prostszy i daje nam przydatne wyniki, które można później rozszerzyć na przypadek płynu prawdziwy.

Istnieją cztery założenia, które przyjmuje się, aby uznać płyn za idealny i wszystkie mają związek z przepływem:

• Przepływ stały: Przepływ stały to taki, w którym prędkość poruszania się płynu jest taka sama w dowolnym punkcie przestrzeni. Innymi słowy, zakładamy, że płyn nie podlega turbulencji.

• Nieściśliwość: Zakłada się również, że idealny płyn jest nieściśliwy, to znaczy, że ma stałą gęstość przez cały czas.

• Brak lepkości: Lepkość jest właściwością płynów, która ogólnie reprezentuje opór, jaki płyn stawia ruchowi. Lepkość można traktować jako analogię do tarcia mechanicznego.

• Przepływ bezwirowy: Przy tym założeniu odnosimy się do faktu, że poruszający się płyn nie wykonuje żadnego ruchu kołowego wokół żadnego punktu na swojej drodze.

Przyjmując te założenia i mając idealny płyn, znacznie upraszczamy matematyczne traktowanie i zapewniamy również zachowanie energii, która jest punktem wyjścia do zasady Bernoulliego.

Równanie Bernoulliego wyjaśnione

Rozważmy idealny płyn przepływający przez rurę, jak pokazano na poniższym rysunku:

Użyjemy teraz twierdzenia o pracy i energii kinetycznej, które jest innym sposobem wyrażenia prawa zachowania energii, które mówi nam, że:

\(W = {\rm{\Delta}}K\)

Gdzie \(W\) to całkowita praca mechaniczna, a \({\rm{\Delta }}K\) to zmiana energii kinetycznej między dwoma punktami. W tym systemie mamy dwa rodzaje pracy mechanicznej, jedną wykonywaną przez siłę grawitacji na płynie, a drugą wynikającą z ciśnienia płynu. Niech \({W_g}\) będzie pracą mechaniczną wykonaną przez grawitację i \({W_p}\) będzie pracą mechaniczną wykonaną przez ciśnienie, możemy wtedy powiedzieć, że:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta}}K\)

Ponieważ grawitacja jest siłą zachowawczą, wykonana przez nią praca mechaniczna będzie równa różnicy energii potencjalnej grawitacji między dwoma punktami. Początkowa wysokość, na której znajduje się płyn, wynosi \({y_1}\), a końcowa wysokość to \({y_2}\), zatem mamy:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Gdzie \({\rm{\Delta }}m\) to część masy płynu, która przechodzi przez określony punkt, a \(g\) to przyspieszenie ziemskie. Ponieważ idealny płyn jest nieściśliwy, to \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Gdzie \(\rho \) to gęstość płynu, a \({\rm{\Delta }}V\) to część objętości, która przepływa przez punkt. Podstawiając to do powyższego równania otrzymujemy:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Rozważmy teraz pracę mechaniczną wykonaną przez ciśnienie płynu. Ciśnienie to siła wywierana na jednostkę powierzchni, czyli \(F = PA\). Z drugiej strony praca mechaniczna jest zdefiniowana jako \(W = F{\rm{\Delta }}x\) gdzie \(F\) to przyłożona siła i \({\rm{\Delta }}x\) jest przemieszczeniem realizowanym w tym przypadku na osi x. W tym kontekście możemy myśleć o \({\rm{\Delta }}x\) jako o długości części płynu, która przepływa przez określony punkt. Łącząc oba równania mamy \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Możemy zdać sobie sprawę, że \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), czyli jest to część objętości, która przepływa przez ten punkt. Mamy zatem \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

W punkcie początkowym nad układem wykonywana jest praca mechaniczna równa \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) aw punkcie końcowym układ wykonuje pracę mechaniczną w otoczeniu równą \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Praca mechaniczna spowodowana ciśnieniem płynu będzie wtedy pracą wykonaną w systemie pomniejszoną o pracę, jaką wykonuje on w swoim otoczeniu, to znaczy, że:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta}}V – {P_2}{\rm{\Delta}}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta}}V\)

Ostatecznie różnica energii kinetycznej \({\rm{\Delta }}K\) będzie równa energii kinetycznej w punkcie końcowym minus energia kinetyczna w punkcie początkowym. To jest:

\({\rm{\Delta}}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta}}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta}}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Z powyższego wiemy, że \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Powyższe równanie ma zatem postać:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Zastępując wszystkie wyniki otrzymane w równaniu zachowania energii, otrzymujemy, że:

\(\lewo( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Możemy rozłożyć termin \({\rm{\Delta }}V\) po obu stronach równania, co prowadzi do:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \Prawidłowy)\)

Rozwijając brakujące produkty musimy:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Przestawiając wszystkie wyrazy po obu stronach równania, otrzymujemy, że:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

To równanie jest relacją między stanem początkowym a stanem końcowym naszego układu. W końcu możemy powiedzieć, że:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = stała\)

To ostatnie równanie jest równaniem Bernoulliego, z którego wywodzi się jego zasada. Zasada Bernoulliego jest prawem zachowania płynu idealnego w ruchu.

Bibliografia

David Halliday, Robert Resnick i Jearl Walker. (2011). Podstawy fizyki. Stany Zjednoczone: John Wiley & Sons, Inc.