Przykład najmniejszej wspólnej wielokrotności

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch lub więcej liczb, reprezentowana przez akronim m.cm., jest najmniejszą ze wspólnych wielokrotności tych liczb, inną niż zero. Najłatwiejszy sposób na znalezienie m.c.m. dwóch lub więcej liczb polega na rozłożeniu każdej z liczb na jej czynniki pierwsze. Zatem najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi wszystkich wspólnych i rzadkich czynników z ich największym wykładnikiem. W celu wyjaśnienia idei analizujemy następujący przykład najmniejszej wspólnej wielokrotności:
1) Niech dwa statki odpłyną razem z Mexico City. Jeden odejdzie ponownie w ciągu dwunastu (12) dni, a drugi w ciągu czterdziestu (40) dni. Pytanie brzmi, ile dni zajmie obu statkom wspólny odlot?
W tym przykładzie musimy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 12 i 40. Aby to zrobić, rozkładamy każdą z tych liczb na jej czynniki pierwsze.
Nie. Czynniki główne
12 2
6 2
3 3
1
Nie. Czynniki główne
40 2
20 2
10 2
5 5
1
W tym przykładzie rozłożenie liczby na jej czynniki pierwsze oznacza podzielenie każdego z nich przez najmniejszą liczbę pierwszą, która dzieli ją dokładnie. Dochodzimy więc do następujących wniosków:

12 = 2 x 2 x 3, czyli to samo 12 = 2 do kwadratu (2) x3 y
40 = 2 x 2 x 2 x 5, czyli to samo 40 = 2 sześciany (3) x5
Najmniejsza wspólna wielokrotność jest iloczynem wspólnych i rzadkich czynników z ich największym wykładnikiem, czyli m.c.m. 12 i 40 = 2 podniesione sześcian x 3 x 5, mcm z 12 i 40 = 120, więc poprawną odpowiedzią dla tego przykładu jest to, że statki zejdą się ponownie w ciągu 120 dni.

Inny przykład najmniejszej wielokrotności:

2) Dwóch zawodowych kolarzy rozgrywa zawody na torze welodromu. Pierwsze okrążenie zajmuje 32 sekundy, a drugie 48 sekund. Jak często w ciągu kilku sekund spotkają się w punkcie wyjścia?
Przykład jest podobny do poprzedniego, więc musimy rozłożyć 32 i 48 na ich czynniki pierwsze.
Liczba czynników pierwszych
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
Liczba czynników pierwszych
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
Zatem 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 czyli 32 = 2 podniesione do piątej (5) i 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 czyli 48 = 2 podniesione do czwartej (4) x 3 .
Ponieważ najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa producentowi czynników wspólnych i niepospolitych z ich największym wykładnikiem, mamy, że mcm z 32 i 48 = 2 podniesione do piątej x 3. Najmniejsza wspólna wielokrotność 32 i 48 = 96, więc odpowiedzią na ten przykład jest to, że obydwaj kolarze spotkają się ponownie w punkcie startowym po 96 sekundach.
3) W domu bankowym alarmy bezpieczeństwa są programowane sprawnie. Pierwszy będzie brzmiał co 10 sekund, drugi co 15 sekund, a ostatni co 20 sekund. Ile sekund włączą się alarmy?
Rozumowanie jest podobne do tego z poprzednich przykładów, musimy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 10, 15 i 20. W tym celu wykonujemy rozkład jest jego czynnikami pierwszymi trzech liczb.
Liczba czynników pierwszych
10 2
5 5
1
Liczba czynników pierwszych
15 3
5 5
1
Liczba czynników pierwszych
20 2
10 2
5 5
1
Mamy, że 10 = 2 x 5, że 15 = 3 x 5 i że 20 = 2 do kwadratu (2) x 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność 10, 15 i 20 = 2 do kwadratu (2) x 3 x 5 = 60. Odpowiedzią na ten przykład jest to, że wszystkie trzy alarmy zabrzmią razem po 60 sekundach (jedna minuta).
Pamiętaj, że liczby pierwsze to te liczby, które można podzielić tylko między jedność (1) a sobą.