Przykład pełnej przestrzeni

Analiza matematyczna to dział nauk matematycznych zajmujący się badaniem pełna przestrzeń, który jest rodzajem przestrzeni metrycznej.

Przestrzeń metryczna składa się z par punktów i funkcji odległości między nimi; w tych przestrzeniach można zdefiniować ciąg Cauchy'ego, który tworzą coraz mniejsze odległości między tymi dwoma punktami. Gdy w przestrzeni metrycznej nie można już znaleźć mniejszej odległości w ciągu, to mamy a pełna przestrzeń. Zamknięte zbiory liczbowe, czyli takie, w których istnieje granica, są pełnymi przestrzeniami.

Przykład pełnej przestrzeni:

Zbiór liczb naturalnych, w tym 0, jest pełną przestrzenią, ponieważ ten zbiór jest zamknięty końcem zera. Reprezentacją tego zestawu liczb jest N= [0, 1, 2,… n}.

Weźmy dowolne dwa punkty między dwoma elementami tego zbioru, na przykład 4 i 8, reprezentowane w następujący sposób p = (4, 8), funkcja odległości między dwoma punktami jest równa 4, ciąg Cauchy'ego jest dana ciągiem {4, 3, 2, 1, 0}, który jest zbieżny 0.

Innym przykładem jest zbiór dodatnich liczb rzeczywistych utworzony z {0}, który jest reprezentowany jako

I⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, ponieważ przy danych dwóch punktach w tej przestrzeni ciąg Cauchy'ego będzie zbieżny, gdy odległość wyniesie 0

Zbiór liczb wymiernych nie jest zupełną przestrzenią, ponieważ odległość 0 (liczba 0 jako liczba nie jest) istnieje w tym zbiorze), co sprawia, że ​​ciąg Cauchy'ego nie jest zbieżny w żadnym punkcie tego zestaw.

Każdy domknięty przedział liczb naturalnych jest pełną przestrzenią.