Dwumianowy przykład Newtona

Dwumian Newtona, nazywany również "twierdzenie dwumianowe " jest logarytmem, który pozwala nam uzyskać potęgi dwumianów.

Aby uzyskać potęgę dwumianową, współczynniki zwane „współczynniki dwumianowe„Który składa się z sekwencji kombinacji.

Przykład 1, Ogólne wzory dwumianu Newtona:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a-b)² = a² -2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 do²b + 3 ab² + b³

Formuły te są znane pod nazwą znaczących tożsamości, gdzie tworzona jest bardziej ogólna formuła, która jest równoważna z rozwojem (a + b)^nie, gdzie n jest dowolną naturalną liczbą całkowitą.

Ta formuła obowiązuje dla każdego elementu do Tak b pierścienia,

A (dla praw + Tak x) do

Warunek, aby dwa elementy doTak b bądź taki, że do x b = b x do:

(a + b)^nie = a^nie + C¹_nie do^n-2 xb² + ...
+ C^p_nie  do^n-p x b^p +… + C_pⁿ¹ + b^nie.

do^p_nie są naturalnymi liczbami całkowitymi, zwanymi współczynnikami dwumianowymi (te, które wyrażają liczbę kombinacji nie przedmioty zabrane p do p; można łatwo obliczyć dzięki trójkątowi Pascala).

Przykład 2, z dwumianu Newtona:

Rozważamy mnożenie:

z. z = z² gdzie z może być dowolnym wyrażeniem algebraicznym:

Załóżmy teraz, że z = x + Tak, następnie:

z. z = (x + y) = (x + y) ale (x + y)

które można obliczyć w ten sposób:

x + y
x + y

Tutaj mnożenie odbywa się od lewej do prawej, a wynik uzyskuje się dodając algebraicznie:

x² + x y
+ xy + y²

x² + 2 x r + r²

(x + y)² = x² + 2 x r + r²

Jeśli weźmiemy pod uwagę:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Po wykonaniu mnożenia otrzymujemy:

X2 + 2 x y + y2
+ x²r + 2 x r² + i²

X³ + 3 x² r + 3 x r² + i³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² r + 3 x r² + i³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

A kiedy robimy mnożenie.

x³ + x² r + 3 x r² + i³

x + y_________________

x⁴ + 3 x³ r + 3 x² Tak² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + i⁴

x⁴ + 4x³i + 6x² r + 4xy³ + i⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³i + 6x² Tak² + 4xy³ + i⁴