Definição de Geometria Não Euclidiana

Basicamente, as geometrias não euclidianas são aquelas que surgem do questionamento das chamadas 5º Postulado de Euclides, portanto, é essencial uma caracterização geral da obra de Euclides, que foi um matemático e geômetra grego, cuja obra é paradigmática para o Geometria, para ser considerado um de seus fundadores. Sabe-se com certa segurança que viviam na cidade de Alexandria, foco cultural da antiguidade, por volta do ano 300 aC. c.

Sua obra Elementos começa com uma série de “princípios”, composta por uma lista de 23 definições; seguido de 5 postulados, referentes a figuras especificamente geométrica; e 5 axiomas gerais, comuns a outras disciplinas matemáticas. A seguir, após os princípios, Euclides apresenta as "proposições", de dois tipos: problemas, referidos aos

construção de figuras com régua e compasso; e teoremas, referindo-se à demonstração das propriedades que alguns figuras geométricas.

Quinto postulado de Euclides

Ele afirma que “Se uma reta que cai sobre duas outras retas faz com que os ângulos internos do mesmo lado sejam menores que duas retas, então, se as duas linhas se prolongam indefinidamente, elas se encontram no lado em que os ângulos são menores que dois direto”. Se os ângulos fossem retos, então tais linhas, de acordo com a definição nº 23, seriam paralelas ("Linhas paralelas são linhas que, se estiverem no mesmo plano e se prolongarem indefinidamente, não se encontram em nenhuma direção.”).

Este postulado, mais complexo que os anteriores, não era em si indubitável: não era evidente que, prolongando-se linhas indefinidamente, elas se cruzariam no lado em que os ângulos fossem menores que dois ângulos retos, pois não seria possível provar isso por construção. Então, a possibilidade de que as linhas se aproximassem indefinidamente sem nunca se cruzarem foi deixada em aberto.

Tentativas de provar o quinto postulado

É por isso que, desde a Antiguidade até meados do século XIX, houve uma série de tentativas frustradas de provar o quinto postulado: sempre se conseguia uma prova; mas introduzindo algum outro postulado adicional (logicamente equivalente ao quinto), diferente dos de Euclides. Ou seja, o quinto postulado não pôde ser provado, mas foi substituído por um equivalente.

Um exemplo disso é o postulado de John Playfair (v. XVIII): “Um único ponto paralelo a essa linha passa por um ponto fora de uma linha que está no mesmo plano." (conhecido como "postulado paralelo”). As geometrias não-euclidianas surgem justamente das tentativas fracassadas de provar o quinto postulado do sistema euclidiano.

O teste do absurdo de Saccheri

Em 1733, o matemático italiano Girolamo Saccheri tentou provar o absurdo do quinto postulado de Euclides. Para fazer isso, ele construiu um quadrilátero (conhecido como "quadrilátero de Saccheri”, em que um par de ângulos são retos) e afirmou que o quinto postulado é equivalente à proposição de que o ângulos característicos (aqueles opostos ao par de ângulos retos) desse quadrilátero também são ângulos retos. então são três hipótese possível, mutuamente exclusivos: que os dois ângulos característicos sejam retos, agudos ou obtusos. Para provar o quinto postulado pelo absurdo, era preciso provar (sem recorrer ao quinto postulado) que as hipóteses do ângulo obtuso e agudo implicavam contradição e, portanto, eram falso.

Saccheri conseguiu provar que a hipótese do ângulo obtuso é contraditória, mas não conseguiu no caso do ângulo agudo. Pelo contrário, ele deduziu uma série de teoremas consistentes e incompatíveis com a geometria euclidiana. Por fim, concluiu que, dada a estranheza desses teoremas, a hipótese deve ser falsa. Conseqüentemente, ele acreditava que havia provado que o quinto postulado era absurdo; no entanto, o que ele fez foi provar inadvertidamente um importante conjunto de teoremas da geometria não-euclidiana.

A descoberta “simultânea” de geometrias não euclidianas

Carlos F. Gauss, no século XIX, foi o primeiro a suspeitar que o quinto postulado não poderia ser provado pelos outros quatro (isto é, que era independentemente) e em conceber a possibilidade de uma geometria não euclidiana que se baseasse nos quatro postulados euclidianos e na negação do quinto. Ele nunca publicou sua descoberta: este é considerado um caso de descoberta simultânea, porque tinha três referentes independentes (o próprio Gauss, János Bolyai e Nikolai Lobachevsky).

A negação a quinto lei de Euclidiana implica duas possibilidades (tomando a formulação equivalente de Playfair): através de um ponto fora de uma linha reta, ou sem passagens paralelas, ou mais de uma passagem paralela. Entre as geometrias não euclidianas encontramos, por exemplo, a geometria "imaginário” por Lobachevsky, —mais tarde conhecido como “hiperbólico"- de acordo com, "Dado um ponto externo a uma linha, infinitas linhas que se cruzam, infinitas linhas que não se cruzam e apenas duas linhas paralelas passam por esse ponto.”, ao contrário do único paralelo euclidiano; ou a geometria elíptica de Bernhard Riemann, que afirma que "Por um ponto fora de uma linha, nenhum paralelo a essa linha passa.”.

Aplicações e implicações da descoberta

Atualmente, sabe-se que, no espaço local, ambas as geometrias dão resultados aproximados. As diferenças aparecem quando o espaço físico é descrito por uma geometria ou outra, considerando grandes distâncias. Embora continuemos a usar a geometria euclidiana, por ser a que mais simplesmente descreve nosso espaço em escala local, a descoberta das geometrias não euclidianas foi decisiva na medida em que significou uma transformação radical da compreensão das verdades científico.

Até então, pensava-se que a geometria euclidiana realmente descreve o espaço. Ao provar a possibilidade de descrevê-lo através de outra geometria, com outros postulados, foi necessário repensar os critérios pelos quais era possível assumir uma explicação ou outra como "verdadeiro”.

Bibliografia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) “A ética de Sócrates e sua influência na pensei Occidental”, na Revista Baética: Estudios de Arte, Geografia e História, 3, 317-334. Universidade de Málaga.

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