O que são as equações de Maxwell e como elas são definidas?

Anjo Zamora Ramírez | Julho 2022
Graduação em física

Antes dessas equações, dizia-se que as forças elétricas e magnéticas eram "forças à distância", não se conhecia nenhum meio físico por meio do qual esse tipo de interação ocorreria. Depois de muitos anos de pesquisa sobre eletricidade S magnetismo, Michael Faraday intuiu que deveria haver algo físico no espaço entre as cargas e as correntes elétricas que lhes permitisse interagir umas com as outras e manifestar todas as fenômenos elétricos e magnéticos que eram conhecidos, ele inicialmente se referiu a eles como “linhas de força”, o que levou à ideia da existência de um campo eletromagnético.

Com base na ideia de Faraday, James Clerk Maxwell desenvolve uma teoria de campo representada por quatro equações diferenciais parciais. Maxwell se referiu a isso como "teoria eletromagnética" e foi o primeiro a incorporar esse tipo de linguagem matemática em uma teoria física. As equações de Maxwell em sua forma diferencial para vácuo (ou seja, na ausência de materiais dielétricos e/ou polarizáveis) são as seguintes:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\épsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\parcial \vec{E}}{\parcial t}\)
As equações de Maxwell para o vácuo em sua forma diferencial

Onde \(\vec{E}~\) é o campo elétrico, \(\vec{B}~\) é o campo magnético, \(\rho ~\) é a densidade de carga elétrica, \(\vec{J}~~\)é um vetor associado a um corrente elétrica, \({{\epsilon }_{0}}~\)é a permissividade elétrica do vácuo e \({{\mu }_{0}}~~\)é a permeabilidade magnética do vácuo. Cada uma dessas equações corresponde a um lei do eletromagnetismo e tem um significado. Vou explicar brevemente cada um deles a seguir.

lei de Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\épsilon }_{0}}}\)
Lei de Gauss para o campo elétrico

O que esta primeira equação nos diz é que as cargas elétricas são as fontes do campo elétrico, este campo elétrico “diverge” diretamente das cargas. Além disso, a direção do campo elétrico é ditada pelo sinal da carga elétrica que o produz, e a proximidade das linhas de campo indica a magnitude do próprio campo. A imagem abaixo resume um pouco o que acaba de ser mencionado.

Ilustração 1. Do Studiowork.- Diagrama dos campos elétricos gerados por duas cargas puntiformes, uma positiva e outra negativa.

Essa lei deve seu nome ao matemático Johann Carl Friedrich Gauss que a formulou com base em seu teorema da divergência.

Lei de Gauss para o campo magnético

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Lei de Gauss para o campo magnético

Essa lei não tem um nome específico, mas é chamada assim por causa de sua semelhança com a equação anterior. O significado desta expressão é que não há "carga magnética" análoga à "carga elétrica", ou seja, não há monopolos magnéticos que sejam a fonte do campo magnético. Esta é a razão pela qual se quebrarmos um ímã ao meio ainda teremos dois ímãs semelhantes, ambos com um pólo norte e um pólo sul.

Lei de Faraday

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Lei de indução de Faraday

Esta é a famosa lei da indução formulada por Faraday quando, em 1831, descobriu que campos magnéticos variáveis ​​eram capazes de induzir correntes elétricas. O que esta equação significa é que um campo magnético que muda com o tempo é capaz de induzir em torno dele um campo elétrico, que por sua vez pode fazer com que as cargas elétricas se movam e criem um fluxo. Embora isso possa parecer muito abstrato a princípio, a lei de Faraday está por trás do funcionamento de motores, guitarras elétricas e cooktops de indução.

Lei de Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\parcial \vec{E}}{\parcial t}\)

A primeira coisa que esta equação nos diz é que as correntes elétricas geram campos magnéticos em torno da direção da corrente e que a magnitude do campo magnético gerado depende da magnitude deste, foi isso que Oersted observou e que mais tarde Ampère conseguiu formular. No entanto, há algo curioso por trás dessa equação, e é que o segundo termo do lado direito da equação foi introduzida por Maxwell porque esta expressão era originalmente inconsistente com os demais, em particular, levou a uma violação da lei de conservação da carga elétrica. Para evitar isso, Maxwell simplesmente introduziu este segundo termo para que toda a sua teoria fosse consistente, este termo recebeu o nome de "corrente de deslocamento" e na época não havia evidências experimentais para apoiá-lo. vai fazer backup

Ilustração 2. De Rumruay.- Uma corrente elétrica fluindo através de um cabo gera um campo magnético ao seu redor de acordo com a Lei de Ampère.

O significado da corrente de deslocamento é que, da mesma forma que um campo magnético variável induz um campo elétrico, um campo elétrico que muda com o tempo é capaz de gerar um campo magnético. A primeira confirmação experimental da corrente de deslocamento foi a demonstração da existência de ondas eletromagnéticas por Heinrich Hertz em 1887, mais de 20 anos após a publicação da teoria da Maxwell. No entanto, a primeira medição direta da corrente de deslocamento foi feita por M. R. Van Cauwenberghe em 1929.

a luz é uma onda eletromagnética

Uma das primeiras previsões incompreensíveis feitas pelas equações de Maxwell é a existência de ondas eletromagnéticas, mas não só isso, eles também revelaram que a luz tinha que ser uma onda dessa Modelo. Para ver isso um pouco, vamos brincar com as equações de Maxwell, mas antes disso, aqui está a forma de qualquer equação de onda:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Forma geral de uma equação de onda em três dimensões.

Onde \({{\nabla }^{2}}\) é o operador Laplaciano, \(u\) é uma função de onda e \(v\) é a velocidade da onda. Também trabalharemos com as equações de Maxwell no espaço vazio, ou seja, na ausência de cargas elétricas e correntes elétricas, apenas campos elétricos e magnéticos:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

E também usaremos o seguinte identidade cálculo vetorial:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \hora{A}\)

Se aplicarmos essa identidade a campos elétricos e magnéticos usando as equações de Maxwell para o espaço vazio acima, obteremos os seguintes resultados:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\parcial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\parcial {{t}^{2}}}\)

Observe a semelhança dessas equações com a equação de onda acima, em conclusão, campos elétricos e magnéticos podem se comportar como ondas (ondas eletromagnéticas). Se definirmos a velocidade dessas ondas como \(c\) e compararmos essas equações com a equação de onda acima, podemos dizer que a velocidade é:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) e \({{\epsilon }_{0}}\) são a permeabilidade magnética e a permissividade elétrica do vácuo, respectivamente, e ambas são constantes universais cujos valores são \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) e \({{\ epsilon } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), substituindo esses valores, temos que o valor de \(c\) é \(c=299,792,458\frac{m}{s}\approx 300,000~km/s\) que é exatamente a velocidade do leve.

Com esta pequena análise podemos obter três conclusões muito importantes:

1) Campos elétricos e magnéticos podem se comportar como ondas, ou seja, existem ondas eletromagnéticas que também são capazes de se propagar no vácuo.

2) A luz é uma onda eletromagnética cuja velocidade depende da permeabilidade e permissividade magnética do meio através do qual se propaga, no espaço vazio a luz tem uma velocidade de aproximadamente 300.000 km/s.

3) Como a permeabilidade magnética e a permissividade elétrica são constantes universais, então a velocidade da luz também é uma constante universal, mas isso também implica que seu valor não depende do ponto de referência a partir do qual é medido.

Esta última afirmação foi altamente controversa na época. Como é possível que a velocidade de a luz é a mesma independentemente do movimento da pessoa que a mede e do movimento da fonte de luz. leve? A velocidade de algo tem que ser relativa, certo? Bem, isso foi um divisor de águas para a física da época e esse fato simples, mas profundo, levou ao desenvolvimento da Teoria da Relatividade Especial por Albert Einstein em 1905.