O que é a Equação de Dirac e como ela é definida?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) propôs no final de 1928 uma das equações de maior importância e implicações na Física da era atual, e isso porque unifica os princípios da mecânica quântica com os da relatividade.

Cotação (APA)

Evelyn Maitê Marin | agosto 2022
Engenheiro Industrial, Mestre em Física e EdD

Esta equação pode ser expressa de várias maneiras, sendo a mais compacta e simplificada aquela que é considerada uma das equações mais estéticas da ciência:

\(\left({i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Onde:
i: unidade imaginária
m: massa de repouso do elétron
ħ: Constante reduzida de Planck
c: Rapidez da Luz
: operador de soma de derivadas parciais
: função de onda matemática do elétron

O valor absoluto do quadrado da função de onda representa a probabilidade encontrar a partícula em uma determinada posição, considerando sua Energia, velocidade, entre outros parâmetros, bem como sua evolução no tempo. Em outras palavras, a equação de Paul Dirac usa matrizes atuando em vetores e representa uma evolução da equação de Schrödinger na física quântica relativística.

A equação de Dirac foi originalmente usada para descrever o comportamento de um elétron desprovido de interação, embora sua aplicabilidade se estenda a Descrição de partículas subatômicas quando viajam a velocidades próximas à velocidade da luz. Dirac conseguiu explicar em escala subatômica o comportamento dual de onda e partícula que já era conhecido na época, pois considerava as propriedades das partículas como o momento angular intrínseco ou girar.

Outra das contribuições significativas da equação de Dirac é a previsão da antimatéria, cuja existência foi posteriormente demonstrada (em 1932) por Carl D. Anderson usando uma câmara de nuvens com a qual identificou o pósitron. Também explica em grande parte a estrutura fina identificada nas linhas espectrais atômicas.

A imagem mostra a famosa fotografia tirada durante a conferência "Fótons e Elétrons" em 1927, onde estão retratados alguns dos cientistas mais destacados da história. Na circunferência celeste está Paul Dirac.

Fundo da Equação de Dirac

Para entender as considerações feitas por Dirac no desenvolvimento de sua equação, bem como a bases em que se baseou sua abordagem, é importante conhecer as teorias anteriores à sua modelo.

Primeiro, há a famosa equação de Schrödinger da mecânica quântica, publicada em 1925, que converte quantidades em operadores quânticos. Esta equação usa a função de onda (), tomando como ponto de partida a equação clássica de energia E = p2/2m e incorpora as regras de quantização para momento (p) e energia (E):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

A derivada parcial /t expressa a evolução do sistema em relação ao tempo. O primeiro termo dentro do colchete refere-se ao energia cinética (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), enquanto o segundo termo refere-se ao energia potencial.

Nota: na teoria da relatividade de Einstein, as variáveis ​​de espaço e tempo devem entrar igualmente na equações, o que não é o caso da equação de Schrödinger, na qual o tempo aparece como uma derivada e a posição como uma segunda derivada.

Agora, há séculos, os cientistas tentam encontrar um modelo de Física que unifique as diferentes teorias e, no caso da A equação de Schrödinger, leva em conta a massa (m) e a carga do elétron, mas não considera os efeitos relativísticos que se manifestam em altas velocidades. Por isso, em 1926, os cientistas Oskar Klein e Walter Gordon propuseram uma equação que leva em conta os princípios da relatividade:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

O problema com a equação de Klein-Gordon é que ela é baseada na equação de Einstein, na qual a energia é elevada ao quadrado, então esta equação (de Klein-Gordon) incorpora uma derivada quadrada em relação ao tempo, e isso implica que tem duas soluções, permitindo valores negativos de tempo, e isso não faz sentido fisica. Da mesma forma, tem o inconveniente de gerar valores de probabilidade menores que zero como soluções.

Tentando resolver as inconsistências implicadas por soluções negativas de certas magnitudes que não suportam esses resultados, Paul Dirac partiu da equação de Klein-Gordon para linearizá-lo, e neste procedimento, ele introduziu dois parâmetros na forma de matrizes de dimensão 4, conhecidas como matrizes de Dirac ou também de Pauli, e que são uma representação da álgebra do rodar. Esses parâmetros são indicados como  e ` (na equação de energia, eles são representados como E = pc + mc2):

Pelo que é igualdade for satisfeita, a condição é que ´2 = m2c4

Em geral, as regras de quantização levam a operações com derivadas que se aplicam a funções de onda escalares, porém, como o os parâmetros α e β são matrizes 4x4, os operadores diferenciais intervêm em um vetor quadridimensional (), conhecido como espinor.

A equação de Dirac resolve o problema de energia negativa apresentado pela equação de Klein-Gordon, mas ainda aparece uma solução de energia negativa; ou seja, partículas com propriedades semelhantes às da outra solução, mas com carga oposta, Dirac chamou isso de antipartículas. Além disso, com a equação de Dirac, mostra-se que o spin é o resultado da aplicação de propriedades relativísticas ao mundo quântico.