O que é a Hierarquia de Operações?

A hierarquia das operações é uma convenção matemática que estabelece a ordem na qual as ações de cálculo combinadas devem ser executadas em o mesmo enunciado matemático, ou seja, quando existe um enunciado matemático onde existem operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes) combinados, eles devem ser feitos em uma ordem específica para chegar a um resultado comum.

Mas por que é necessária uma hierarquia? Para respondê-la, primeiro temos que entender bem a natureza das operações matemáticas, que consiste em uma transformação aplicada aos elementos de um conjunto. Pensemos, por exemplo, no conjunto dos números reais, ou seja, aqueles números que todos conhecemos. Se tomarmos um número a e o somarmos com outro número b obteremos outro número c que pertence ao mesmo conjunto dos números reais, ou seja:

a+b = c

Além disso, a ordem de apresentação dos aditivos não afeta o resultado final, ou seja, a+b = b+a, essa propriedade é chamada de comutatividade. É importante falar da adição porque é a operação básica da qual derivam todas as outras. Uma multiplicação nada mais é do que uma série de adições repetidas. Se tivermos novamente um número a e o multiplicarmos por um número b, o que estamos fazendo às vezes é somar o número b com ele mesmo, ou, alternativamente, somar b vezes o número a com ele mesmo. O último é assim, já que a multiplicação é comutativa como a adição, isso implica que:

a⋅b = b⋅a. O acima mencionado pode ser expresso como:

Podemos visualizar isso facilmente com um exemplo. Vamos fazer a multiplicação 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Agora, e se tivermos que realizar uma operação onde combinamos adição com multiplicação? Por exemplo: a⋅b+c. Qual é a ordem em que a adição e a multiplicação devem ser realizadas? A qual operação devemos dar preferência? Se fizermos a multiplicação primeiro e a desenvolvermos como uma soma, teríamos:

Agora, se fizéssemos primeiro a adição e depois a multiplicação teríamos:

Como a adição é comutativa, podemos reagrupar o lado direito da equação para obter:

Comparando os resultados obtidos nas duas situações é fácil perceber que:

Concluímos então que a ordem em que se decide realizar as operações afeta o resultado obtido. O mesmo acontece quando envolvemos poderes. Quando elevamos um número b a uma potência c, o que estamos fazendo é multiplicar c vezes o número b por ele mesmo, ou seja:

Agora procedemos à realização da seguinte operação combinada envolvendo multiplicação e potência a⋅b^c em uma ordem diferente como fizemos no caso anterior. Se primeiro dermos prioridade ao poder, temos:

Agora, se fizermos primeiro a multiplicação e depois a potência, teríamos:

Aproveitando a comutatividade da multiplicação, podemos reagrupar o lado direito da equação como:

Novamente, podemos comparar os resultados obtidos realizando as operações em uma ordem diferente para perceber que:

Também neste caso a ordem em que as operações são realizadas afeta o resultado obtido. Então, qual é a ordem em que as operações devem ser executadas? A hierarquia das operações estabelece que os poderes estão em um nível hierárquico superior ao das multiplicações, de forma que os poderes têm precedência em um enunciado matemático. Por sua vez, as multiplicações têm um nível hierárquico mais alto do que as adições.

Mas e quanto à subtração, divisão e raízes? A subtração é a operação oposta da adição, quando subtraímos um número b de um número a obtemos outro número c tal que c+b=a. Algo semelhante acontece com a divisão e a subtração. Se dividirmos um número a por um número b e obtivermos um número c como resultado, encontraremos um número tal que b⋅c=a. E, finalmente, calculando a raiz b de um número a, encontramos um número c tal que c^b=a. Essas equivalências colocam subtração, divisão e raiz no mesmo nível hierárquico que adição, multiplicação e potência, respectivamente.

Práticas de parênteses e colchetes

Agora, o que acontece se quisermos dar prioridade a algumas operações em uma declaração matemática independentemente de seu nível hierárquico? Para fazer isso, parênteses e colchetes são usados. Suponha que temos a declaração do princípio a⋅b+c. Com o que dissemos antes já sabemos que temos que fazer primeiro a multiplicação e depois a adição. Mas, e se quiséssemos que não fosse assim? Para isso, teríamos que usar parênteses ou colchetes para separar a adição da multiplicação e assim priorizar o cálculo da adição primeiro, ou seja: a⋅(b+c). Isso faz com que as instruções separadas por parênteses e colchetes tenham a prioridade mais alta sobre todas as outras operações.

Com tudo dito acima, a hierarquia das operações, ou a ordem em que devem ser realizadas, é a seguinte:

1) Parênteses e colchetes
2) Potências e raízes
3) Multiplicações e divisões
4) Adição e subtração

Referências

h. Behnke, F. BACHMAN, K. Flatt, W. Sus, H. Gerique, F. HOHENBERG, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Fundamentos de Matemática: Volume I. Cambridge, Massachusetts e Londres: The MIT Press.