Definição de Função Quadrática

Uma função quadrática de uma variável real cuja forma é expressa.

\(f\esquerda( x \direita) = a{x^2} + bx + c\)

Onde a variável é \(x\), \(a, b\) e c são constantes reais, chamadas de coeficientes da função quadrática com \(a \ne 0.\)

A tabela apresenta exemplos gerais de funções quadráticas e a situação que elas podem modelar, para depois ilustrar sua aplicação direta a partir de problemas reais.

Função quadrática	Situação que você pode modelar
\(f\esquerda( x \direita) = {x^2}\)	A variável \(y\) é a área de um quadrado cujo lado mede \(x\).
\(f\esquerda( x \direita) = \pi {x^2}\)	A variável \(y\) é a área de um círculo cujo raio é \(x\).
\(f\esquerda( x \direita) = 100 – 4,9{x^2}\)	A variável \(y\) é a altura de um objeto que caiu a uma altura de 100 e \(x\) é o tempo decorrido.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	A variável \(y\) é a altura de uma bala de canhão lançada em um ângulo de 45° com uma velocidade de 60 m/s e \(x\) é o tempo decorrido.

A fórmula geral e a função quadrática

Se para \(x = \alpha \) a função quadrática é zero, então o número é \(\alpha \) é chamado de raiz da função quadrática, sim, \(\alpha \) é a solução da equação quadrática

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

A fórmula geral para resolver equações quadráticas temos que as raízes de uma função quadrática são:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

A partir do exposto, a seguinte relação entre as raízes e os coeficientes da função quadrática é estabelecida:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Através de produtos notáveis ​​estabelece-se a seguinte identidade:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

De maneira semelhante ao estabelecido na fórmula geral, estabelece-se que a função quadrática pode ser expressa na forma:

\(f\esquerda( x \direita) = a{\esquerda( {x – h} \direita)^2} + k\)

Com \(h = – \frac{b}{{2a}}\) e \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Resolvendo a equação:

\(a{\esquerda( {x – h} \direita)^2} + k = 0\)

Se obtem:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Do exposto, pode-se concluir que \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), somente se as constantes \(k\) e \(a\) são de sinais opostos, esta função quadrática tem raízes reais, que são: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Se as constantes \(k\) e \(a\) tiverem o mesmo sinal, então a função quadrática não tem raízes reais.

Quando \(k = 0,\;\;\)a função quadrática tem apenas uma raiz.

Exemplos aplicados à vida real

Exemplo de aplicação 1: Economia

Uma escola quer organizar um torneio de futebol onde cada time joga contra cada um dos outros times apenas uma vez. Há um orçamento de $ 15.600 para o custo da arbitragem, se o custo da arbitragem for de $ 200 por jogo. Quantas equipes podem se inscrever no torneio?

Declaração do problema: Devemos encontrar uma função que calcule o número de correspondências quando temos \(n\) times para contá-los, assumiremos que o time 1 joga primeiro com todos os outros, ou seja \(n – 1\) partidas. A equipe 2 agora jogaria com todas as outras, ou seja, com \(n – 2\), pois já terá jogado com a equipe 1. O time 3 já jogou com os times 1 e 2, então eles teriam que jogar com n-3 times.

Com o raciocínio acima chegamos a:

\(f\esquerda( n \direita) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

A função custo é:

\(C\esquerda( n \direita) = 200f\esquerda(n \direita) = 100n\esquerda( {n – 1} \direita)\)

Com um orçamento de $ 15.600, temos a equação:

\(100n\esquerda( {n – 1} \direita) = 15600\)

solução da equação

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Situação inicial
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Divida cada lado da equação por 100
\({n^2} – n – 156 = \) Adicione \( – 156\) a cada lado da equação
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Temos \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) e \( – 13 + 12 = – 1\)
Foi fatorado.
Soluções da equação \(n = – 12,\;13\)
Resposta: O orçamento é suficiente para 13 equipes se inscreverem.

Exemplo de aplicação 2: Economia

Uma empresa de ônibus de transporte metropolitano observou que, em uma jornada de oito horas, cada um de seus ônibus transporta em média mil passageiros. Para poder dar um aumento a seus funcionários, você precisará aumentar sua tarifa, que atualmente é de $ 5; Um economista calcula que, para cada peso que a tarifa aumenta, cada caminhão perderá em média 40 passageiros por dia. A empresa calculou que, para cobrir o aumento de salário, deve obter um adicional diário de US$ 760 por caminhão.Quanto deve aumentar a tarifa?

Enunciado do problema: Seja \(x\) a quantidade de pesos em que a passagem subirá, para a qual \(5 + x\) é o novo custo da passagem. Com esse mesmo aumento, cada caminhão transportará \(1000 – 40x\) passageiros por dia, em média.

Finalmente, a receita por caminhão é:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \direita)\)

Para cobrir o aumento salarial, cada ônibus deve arrecadar: \(1000\esquerda( 5 \direita) + 760 = 5760\)

Finalmente temos a equação:

\( – 40\esquerda( {x + 5} \direita)\esquerda( {x – 25} \direita) = 5760\)

solução da equação
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Situação inicial
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Divida por \( – 40\) cada lado da equação
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) O notável produto foi desenvolvido
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 foram adicionados a cada
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Temos \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ direita) = 19\) e \( – 19 – 1 = – 20\)
fatorado
Soluções da equação \(n = 1,19\)
Resposta: O preço do ingresso pode subir $ 1 ou $ 19 pesos.

Exemplo de aplicação 3: Economia

Uma padaria vende em média 1.200 pãezinhos por semana por US$ 6 cada. Um dia ele decidiu aumentar o preço para $ 9 a peça; agora suas vendas diminuíram: ela só vende em média 750 rolos por semana. Qual deve ser o preço de cada pãozinho para que a receita do ponto de venda seja a maior possível? Suponha que haja uma relação linear entre demanda e preço.

Declaração do problema: supondo que haja uma relação linear entre a demanda D e o preço \(x,\), então

\(D = mx + b\)

Quando \(x = 6;D = 1200;\;\) que gera a equação:

\(1200 = 6m + b\)

Quando \(x = 9;D = 750;\;\) lo e a equação é obtida:

\(750 = 9m + b\)

Resolvendo o sistema de equações, a relação entre demanda e preço é:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\esquerda( {x – 14} \direita)\)

A renda é igual a

\(I\esquerda( x \direita) = Dx = – 150x\esquerda( {x – 14} \direita)\)

Solução

O gráfico da renda em uma parábola que tem concavidade para baixo e seu valor máximo é atingido no vértice em que pode ser encontrado pela média das raízes da função quadrática que modela o renda. As raízes são \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

Responder

A receita máxima é de US$ 7.350 e é alcançada com um preço de US$ 7; vendendo, em média, 1.050 rolos por semana.

Exemplo de aplicação 4: Economia

O custo para fabricar \(n\) cadeiras em um dia pode ser calculado com a função quadrática:

\(C\esquerda(n\direita) = {n^2} – 200n + 13000\)

Determine o custo mínimo que pode ser alcançado.

Exposição do problema

O gráfico de \(C\left( n \right)\) é uma parábola com concavidade para cima e atingirá seu ponto mínimo em \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ esquerda( { – 200} \direita)}}{{2\esquerda( 1 \direita)}} = 100\)

\(C\esquerda( {100} \direita) = {\esquerda( {100} \direita)^2} – 200\esquerda( {100} \direita) + 13000 = 3000\)

Responder

O menor custo possível é igual a $ 3.000 e é obtido com a fabricação de 100 cadeiras.

Exemplo de Aplicação 5: Geometria

Um losango tem área de 21 cm2; Se a soma dos comprimentos de suas diagonais é 17 cm, qual é o comprimento de cada diagonal do losango?

Declaração do problema: A área de um losango é calculada com:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Com \(D\) e \(d\) os comprimentos de suas diagonais, também é conhecido:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Substituindo você obtém:

\(A = \frac{{\esquerda( {17 – d} \direita) d}}{2}\)

Finalmente obtemos a equação

\(\frac{{\esquerda( {17 – d} \direita) d}}{2} = 21\)

Solução
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Situação inicial
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Multiplique por \( – 40\) cada lado da equação
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) O produto foi desenvolvido.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Temos \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ direita) = 42\) e \( – 14 – 3 = – 17\)
fatorado
Soluções da equação \(d = 3,14\)
Responder:

As diagonais do losango medem 14 cm e 3 cm.

Exemplo de Aplicação 6: Geometria

Deseja-se construir um galinheiro retangular de 140 m2, aproveitando uma cerca bastante comprida que formará o fundo do galinheiro. As outras três laterais serão construídas com 34 metros lineares de tela de arame, quanto deve ser o comprimento e a largura do galinheiro para utilizar a malha total?

Nas mesmas condições, qual é a área máxima que pode ser cercada com a mesma malha?

Declaração do problema: De acordo com o diagrama, a área é igual a:

\(A\esquerda( x \direita) = x\esquerda( {34 – 2x} \direita) = 2x\esquerda( {17 – x} \direita)\)

Onde \(x\) é o comprimento do lado perpendicular à cerca.

Para saber as medidas do retângulo para que ele tenha uma área de 140 m2, basta resolver a equação

\(2x\esquerda( {17 – x} \direita) = 140\)

Como o gráfico de \(A\left( x \right)\) é uma parábola com concavidade para baixo para calcular o valor máximo da área, basta calcular o vértice da parábola.

Respostas
Medidas do retângulo com área 140 m2
Comprimento do lado perpendicular à cerca

\(x\) Comprimento do lado paralelo à cerca

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

A primeira coordenada do vértice é \(h = \frac{{17}}{2}\) e

\(A\esquerda( h \direita) = \frac{{289}}{2}\)

A área é máxima quando o lado perpendicular mede \(\frac{{17}}{2}\;\)m e o lado paralelo mede 17m, mede 17m, o valor da área máxima atingida é \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Gráfico de uma função quadrática

Do ponto de vista geométrico, as raízes são os pontos onde o gráfico de uma função intercepta o eixo \(x\).

Da expressão

\(f\esquerda( x \direita) = a{\esquerda( {x – h} \direita)^2} + k,\)

Vamos estabelecer a forma geral do gráfico de uma função quadrática.

Primeiro caso \(a > 0\) e \(k > 0\)

\(f\esquerda( x \direita) = a{\esquerda( {x – h} \direita)^2} + k\)

\(x\)	\(f\esquerda( x \direita)\)
\(h-1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Neste caso, o gráfico satisfaz:

Simétrico: Com eixo de simetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Ou seja \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \à direita)\)

Está acima do eixo \(x\) e não o intercepta. Ou seja, \(f\left( x \right) > 0\) não tem raízes reais.

O ponto mais baixo no gráfico está no ponto \(\left( {h, k} \right)\). Isso é \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Segundo caso \(a < 0\) e \(k < 0\)

\(f\esquerda( x \direita) = a{\esquerda( {x – h} \direita)^2} + k\)

\(x\)	\(f\esquerda( x \direita)\)
\(h-1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Neste caso, o gráfico satisfaz:

Simétrico: Com eixo de simetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Ou seja \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \à direita)\)

Está abaixo do eixo \(x\) e não o intercepta. Ou seja, \(f\left( x \right) < 0\) não tem raízes reais. O ponto mais alto no gráfico está no ponto \(\left( {h, k} \right)\). Isso é \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Terceiro caso \(a > 0\) e \(k \le 0\).

Este caso é semelhante ao primeiro caso, a diferença é que agora temos uma raiz real (quando \(k = 0\) ) ou duas raízes reais.

Neste caso, o gráfico satisfaz:

Simétrico: Com eixo de simetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Ou seja \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \à direita)\)

Ele intercepta o eixo \(x\), ou seja, possui pelo menos uma raiz real.

O ponto mais baixo no gráfico está no ponto \(\left( {h, k} \right)\). Isso é \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Quarto caso \(a < 0\) e \(k \ge 0\). Este caso é semelhante ao segundo caso, a diferença é que agora temos uma raiz real (quando \(k = 0\) ) ou duas raízes reais. Neste caso, o gráfico satisfaz:

Simétrico: Com eixo de simetria \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Ou seja \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \à direita)\)

O ponto mais baixo no gráfico está no ponto \(\left( {h, k} \right)\). Isso é \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

O gráfico de uma função quadrática é chamado de parábola e seus elementos a destacar são o eixo de simetria, os pontos onde ela se cruza ao eixo \(x\) e ao vértice, que é o ponto no gráfico da função onde ela atinge seu ponto mais baixo ou mais alto, dependendo da caso.

Com base na análise realizada, podemos afirmar:

A parábola associada à função quadrática \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) tem seu vértice em \(\left( {h, k} \right)\) onde :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\esquerda( h \direita)\)

exemplos

Função quadrática \(y = {x^2}\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\esquerda({0,0} \direita)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = 0\)
Intercepta com o eixo \(x\)	\(\esquerda({0,0} \direita)\)

Função quadrática \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\esquerda({2,0} \direita)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = 2\)
Intercepta com o eixo \(x\)	\(\esquerda({2,0} \direita)\)

Função quadrática \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\esquerda( { – 2, – 4} \direita)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = – 2\)
Intercepta com o eixo \(x\)	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Função quadrática \(y = – \frac{1}{2}{\esquerda( {x – 9} \direita)^2} + 8\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\esquerda({9,8} \direita)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = 9\)
Intercepta com o eixo \(x\)	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Função quadrática \(y = {x^2} + 1\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\esquerda({0,1} \direita)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = 0\)
Intercepta com o eixo \(x\)	Não tem

Função quadrática \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\esquerda({2, – 1} \direita)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = 2\)
Intercepta com o eixo \(x\)	Não tem

Se as raízes reais de uma função quadrática existirem, podemos representar graficamente sua parábola associada a partir delas. Suponha que \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Para isso, deve-se levar em consideração:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Como

\(k = f\esquerda(h\direita)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \à direita)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

exemplos

Esboce o gráfico da função quadrática \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Solução

As raízes são \(\alpha = 3\;\) e \(\beta = – 6\); então \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\esquerda( { – \frac{3}{2}} \direita) = 2\esquerda( { – \frac{3}{2} – 3} \direita)\esquerda( { – \frac {3}{2} + 6} \direita) = \frac{1}{4}\esquerda( { – \frac{9}{2}} \direita)\esquerda( {\frac{9}{2}} \direita) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Então podemos construir a seguinte tabela

\(f\esquerda( x \direita) = 2\esquerda( {x – 3} \direita)\esquerda( {x + 6} \direita)\)	elementos importantes
Vértice da parábola	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Eixo de simetria da parábola	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Intercepta com o eixo \(x\)	\(\esquerda( { – 6,0} \direita)\;,\;\esquerda( {3,0} \direita)\)

Para esboçar o gráfico da função:

\(f\esquerda( x \direita) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Usaremos as mesmas ideias que já usamos; Para isso, primeiro determinaremos o vértice.

Neste caso, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Como \(a > 0\), a parábola “se abrirá e \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) A seguir vamos calcular \(k:\)

\(k = f\esquerda( h \direita) = f\esquerda( 3 \direita) = 3{\esquerda( 3 \direita)^2} – 18\esquerda( 3 \direita) + 4 = – 23\)

O vértice da parábola está em \(\left( {3, – 23} \right)\) e, como abre para cima, a parábola interceptará o eixo \(x\;\) e seu eixo de simetria é \ (x = 3\).

Agora vamos considerar a função quadrática

\(f\esquerda( x \direita) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Neste caso, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Como \(a < 0\), a parábola irá “abrir” para baixo e \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \direita)\esquerda( { - 5} \direita)}}} \direita) = 1.\) A Em seguida, calcularemos \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ direita) - 9 = - 4\) O vértice do a parábola está em \(\left( {1, - 4} \right)\) e, como abre para baixo, a parábola não interceptará o eixo \(x\;\) e seu eixo de simetria é \(x = 1.\)