Definição de Progressão Geométrica

Uma sequência de números \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Chama-se progressão geométrica se, a partir do segundo, cada elemento é obtido a partir da multiplicação do anterior por um número \(r\ne 0\), ou seja, se:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Onde:
- O número \(r\) é chamado de razão da progressão geométrica.
- O elemento \({{a}_{1}}\) é chamado de primeiro elemento da progressão aritmética.

Os elementos da progressão geométrica podem ser expressos em termos do primeiro elemento e sua razão, ou seja:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Eles são os quatro primeiros elementos da progressão aritmética; em geral, o elemento \(k-\)th é expresso da seguinte forma:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Quando \({{a}_{1}}\ne 0,~\)da expressão anterior obtemos:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

A expressão acima é equivalente a:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Exemplo/exercício 1. Encontre a diferença da progressão aritmética: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​e encontre os elementos \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Solução

Como \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) podemos concluir que a razão é:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Exemplo/exercício 2. Em uma progressão aritmética temos: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), determine a razão da progressão geométrica e escreva os 5 primeiros elementos.

Solução

Vestindo

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Para encontrar os primeiros 5 elementos da progressão aritmética; vamos calcular \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Os primeiros 5 elementos da progressão geométrica são:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \direita)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\esquerda( -4 \direita)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \à direita)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Exemplo/exercício 3. Um vidro fino absorve 2% da luz solar que passa por ele.

para. Que porcentagem de luz passará por 10 desses vidros finos?

b. Que porcentagem de luz passará por 20 desses vidros finos?

c. Determine a porcentagem de luz que passa por \(n\) vidros finos com as mesmas características, colocados consecutivamente.

Solução

Representaremos com 1 a luz total; absorvendo 2% da luz, então 98% da luz passa pelo vidro.

Representaremos com \({{a}_{n}}\) a porcentagem de luz que passa pelo vidro \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \direita)}^{2}}\esquerda( 0,98 \direita),\)

Em geral \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

para. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); o que nos diz que depois do vidro 10 passa 81,707% da luz

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0.98 \right)}^{20}}=~0.66761\); o que nos diz que após o copo 20 passar 66,761%

A soma dos primeiros \(n\) elementos de uma progressão geométrica

Dada a progressão geométrica \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Quando \(r\ne 1\) é a soma dos primeiros \(n\) elementos, a soma:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Pode ser calculado com

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Exemplo/exercício 4. A partir do exemplo 2 calcule \({{S}_{33}}\).

Solução

Neste caso \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) e \(r=-4\)

aplicando

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\esquerda( -4 \direita)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Exemplo/exercício 5. Suponha que uma pessoa carregue uma foto de seu animal de estimação e a compartilhe com 3 de seus amigos em uma rede social da Internet e, em uma hora, cada um deles deles, partilha a fotografia com mais três pessoas e depois este último, em mais uma hora, cada um deles partilha a fotografia com mais 3 pessoas pessoas; E assim vai; cada pessoa que recebe a fotografia a compartilha com outras 3 pessoas em uma hora. Em 15 horas, quantas pessoas já têm a fotografia?

Solução

A tabela a seguir mostra os primeiros cálculos
Tempo Pessoas que recebem a fotografia Pessoas que recebem a fotografia
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

O número de pessoas que recebem a fotografia na hora \(n\) é igual a: \({{3}^{n}}\)

O número de pessoas que já tem a fotografia na hora é igual a:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

aplicando

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Com \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) e \(n=15\)

Pelo qual:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

meios geométricos

Dados dois números \(a~\) e \(b,\) os números \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) são chamadas \(k\) médias geométricas dos números \(a~\) e \(b\); se a sequência \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) é uma progressão geométrica.

Para saber os valores das \(k\) médias geométricas dos números \(a~\) e \(b\), basta conhecer a razão da progressão aritmética, para isso deve-se considerar o seguinte:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Do exposto, estabelecemos a relação:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Resolvendo para \(d\), obtemos:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Exemplo/exercício 6. Encontre 2 médias geométricas entre os números -15 e 1875.

Solução

Ao aplicar

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

com \(b=375,~a=-15\) e \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

As 3 médias geométricas são:

\(75,-375\)

Exemplo/exercício 7. Uma pessoa investiu dinheiro e recebeu juros todos os meses durante 6 meses e seu capital aumentou 10%. Supondo que a taxa não variou, qual foi a taxa de juros mensal?

Solução

Seja \(C\) o capital investido; a capital final é \(1.1C\); Para resolver o problema devemos colocar 5 médias geométricas, aplicando a fórmula:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Com \(k=5,~b=1.1C\) e \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

A taxa mensal recebida foi de \(1,6%\)