Definição de Frações Mistas, Unitárias, Homogêneas e Heterogêneas

Misturado. Uma fração mista é composta de um número inteiro maior ou igual a um e uma fração própria, a ortografia geral de uma fração misto é da forma: \(a + \frac{c}{d},\) cuja escrita compacta é: \(a\frac{c}{d},\;\), ou seja: \(a\ fração{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). O número \(a\) é chamado de parte inteira da fração mista e \(\frac{c}{d}\) é chamado de parte fracionária.

homogêneo. Se duas ou mais frações têm o mesmo denominador, dizemos que são frações semelhantes. Por exemplo, as frações \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) são homogêneos porque todos têm o mesmo denominador, que neste caso é \(4\). Enquanto as frações \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) não são frações homogêneas já que o denominador de \(\frac{5}{2}\) é \(2\) e o denominador das demais frações é \(4\). Uma das vantagens das frações homogêneas é que as operações aritméticas de adição e subtração de funções são muito simples.

heterogêneo. Se duas ou mais frações, pelo menos duas delas não tiverem o mesmo denominador, essas frações são chamadas de frações heterogêneas. As seguintes frações são heterogêneas: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

unitário. Uma fração é identificada como uma unidade se o numerador for igual a 1 \(1,\) \(2\). As seguintes frações são exemplos de frações unitárias: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Expressão verbal de uma fração mista

fração mista	Expressão verbal
\(3\frac{1}{2} = \)	Três e meio inteiro
\(5\frac{3}{4} = \)	Cinco números inteiros e três quartos
\(10\frac{1}{8} = \)	Dez inteiros com um oitavo

Convertendo uma fração mista em uma fração imprópria

As frações mistas são úteis para estimativas, por exemplo, é fácil estabelecer:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

No entanto, as frações mistas geralmente são impraticáveis ​​para realizar operações como multiplicação e divisão, por isso é importante como convertê-las em uma fração mista.

A figura anterior representa a fração mista \(2\frac{3}{4}\), agora cada inteiro é composto por quatro quartos, então em 2 números inteiros há 8 quartos e a estes devemos adicionar os outros 3 quartos, ou seja dizer:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

De maneira geral:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

A tabela a seguir mostra outros exemplos.

fração mista	Operações a realizar	Fração imprópria
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\esquerda( 2 \direita) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\esquerda( 4 \direita) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\esquerda( 8 \direita) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Convertendo uma Fração Imprópria em uma Fração Mista

Para converter uma fração imprópria em uma fração mista, calcule o quociente e o resto da divisão do numerador pelo denominador. O quociente obtido será a parte inteira da fração mista e a fração própria será \(\frac{{{\rm{resto}}}}{{{\rm{denominador}}}}\)

Exemplo

Para converter \(\frac{{25}}{7}\) em uma fração mista:

Pelas operações realizadas obtemos:

A tabela abaixo mostra outros exemplos.

Fração imprópria	Cálculo do quociente e do resto	Fração imprópria
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Uso diário de frações mistas e próprias

No dia a dia precisamos medir, comprar, comparar preços, oferecer descontos; para medir precisamos de unidades de medida e nem sempre oferecem unidades inteiras dos produtos e nem sempre você paga com uma quantidade inteira de moedas de uma unidade.

Por exemplo, é comum que determinados líquidos sejam vendidos em recipientes cujo conteúdo seja \(\frac{3}{4}\;\) de litro, meio galão ou galão e meio. Talvez quando você for comprar um tubo você peça \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) e não precisa dizer a unidade de medida, que neste caso é a polegada.

Operações básicas de frações semelhantes

A soma de \(\frac{3}{4}\) e \(\frac{2}{4}\), é exemplificada no seguinte esquema:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Enquanto a subtração é feita da seguinte forma:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Em geral, para frações homogêneas:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Os egípcios e as frações unitárias

A cultura egípcia alcançou um notável desenvolvimento tecnológico e isso não teria acontecido sem um desenvolvimento a par da matemática. Existem vestígios históricos onde se podem encontrar registos do uso de frações na cultura egípcia, com uma particularidade, só se usavam frações unitárias.

Existem vários casos em que escrever uma fração como uma soma de frações unitárias é tão simples quanto

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Caso \(n = 2q + 1\), ou seja ímpar, temos que:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\esquerda( {q + 1} \direita)}}\)

Ilustraremos isso com dois exemplos.

Para expressar \(\frac{2}{{11}}\); neste caso temos \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), portanto:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

quer dizer,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Para expressar \(\frac{2}{{17}}\); neste caso temos \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Em seguida, mostramos algumas frações como soma de frações unitárias,

Fração	Expressão como soma de frações unitárias	Fração	Expressão como soma de frações unitárias
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Usando a tabela anterior podemos somar frações e expressar tais somas; como uma soma de frações unitárias.

Exemplos de Frações Heterogêneas

Exemplo 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \direita)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Exemplo 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \direita)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Finalmente, podemos expressar a mesma fração como uma soma de frações unitárias de uma maneira diferente como:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)