Definição de Frações Equivalentes

Duas ou mais frações são ditas equivalentes se representam a mesma quantidade, isto é, se
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
as frações \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\) são ditas equivalentes.

Frações Equivalentes: Representação Gráfica

Considere o quadrado, que dividiremos em quartos, terços, oitavos e doze avos.

Das figuras anteriores notamos as seguintes equivalências:

Como obter uma ou várias frações equivalentes?

Existem dois métodos básicos para obter uma fração equivalente a uma determinada fração.

1. Multiplique o numerador e o denominador pelo mesmo número positivo.

Exemplos:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. É dividido pelo mesmo divisor comum positivo do numerador e do denominador.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Quando em uma fração tanto o numerador quanto o denominador são divididos pelo mesmo divisor comum diferente de 1, diz-se que a fração foi reduzida.

frações irredutíveis

Uma fração é chamada de fração irredutível se o maior divisor comum do numerador e do denominador for igual a 1.

Se \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) a fração \(\frac{a}{b}\) é chamada de fração irredutível.

Dada uma fração \(\frac{a}{b}\) para obter uma fração equivalente a esta fração e que também é uma fração irredutível o numerador e o numerador são divididos pelo máximo divisor comum de \(a\;\) e de \(b.\)

A tabela a seguir mostra exemplos de frações irredutíveis e redutíveis; se for redutível, mostra como obter uma fração equivalente irredutível.

Fração	máximo divisor comum	Irredutível	fração equivalente irredutível
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Não	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Sim	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Não	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Sim	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Não	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Frações equivalentes: representação verbal.

A tabela a seguir mostra duas maneiras diferentes de exibir informações equivalentes, do ponto de vista numérico.

Frase verbal	Frase equivalente (numericamente)	Argumentação
Em 1930, no México, 4 em cada 25 pessoas falavam uma língua nativa.	Em 1930, no México, 16 pessoas em cada 100 falavam uma língua nativa.	Ambos os dados foram multiplicados por 4
Em 1960, no México, 104 pessoas em cada 1.000 pessoas falavam uma língua nativa.	Em 1960, no México, 13 pessoas em 125 pessoas falavam uma língua nativa	Ambos os dados foram divididos por 8.

Frações Equivalentes: Representação Decimal

A tabela abaixo mostra vários números decimais e frações equivalentes que os representam.

Número decimal	Fração	fração equivalente	Operações
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1.4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1.4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Frações Equivalentes: Representação em Percentagem

A tabela abaixo mostra vários números decimais e frações equivalentes que os representam.

Número decimal	Fração	fração equivalente	Operações
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Frações Equivalentes: De Heterogêneas a Homogêneas

Dadas duas frações heterogêneas \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\), podemos encontrar duas frações homogênea de tal forma que uma fração é equivalente à fração \(\frac{a}{b}\;\) e a outra a \(\frac{c}{d}\).

A seguir, mostraremos dois procedimentos para realizar o que foi mencionado no parágrafo anterior.

Vamos observar:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\esquerda( d \direita)}}{{b\esquerda( d \direita)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\esquerda( b \direita)}}{{d\esquerda( b \direita)}}\)

A tabela a seguir mostra alguns exemplos.

F. heterogêneo	Operações	F. homogêneo
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\esquerda( {10} \direita)\esquerda( {14} \direita)}}{{4\esquerda( {10} \direita)\esquerda( {14} \direita)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

A desvantagem desse método é que números muito grandes podem ser produzidos no processo; Em muitos casos é possível evitá-lo, se o mínimo múltiplo comum dos denominadores for calculado e o segundo método for baseado no cálculo do mínimo múltiplo comum.

Mínimo múltiplo comum no cálculo de frações

A seguir, através de dois exemplos, como obter frações homogêneas utilizando o mínimo múltiplo comum dos denominadores, que será o denominador comum das frações envolvidas.

Considere as frações: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

O mínimo múltiplo comum de \(12\) e \(18\) é \(36\); agora

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Agora considere as frações: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

O mínimo múltiplo comum de \(10\), \(14\) e \(3\) é \(140\); agora

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Das figuras anteriores notamos o seguinte fato:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Aqui estão outros exemplos.

F. heterogêneo	min denominadores comuns	Operações	F. homogêneo
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)