Como é definido o Teorema de Tales?

Pelo Teorema de Tales, dadas várias retas paralelas, diz-se que a reta \(T\) é transversal às retas paralelas se intercepta cada uma das retas paralelas.

Na figura 1, as retas \({T_1}\) e \({T_2}\) são transversais às paralelas \({L_1}\) e \({L_2}.\)

Teorema de Tales (versão fraca)
Se várias paralelas determinam segmentos congruentes (que medem o mesmo) em uma de suas duas retas transversais, também determinarão segmentos congruentes nas outras transversais.

Na figura 2, as linhas pretas são paralelas e você deve:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Podemos garantir o seguinte:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Diz-se que o sábio Thales de Mileto mediu a altura da pirâmide de Quéops, para isso usou sombras e a aplicação de propriedades de semelhança de triângulo. O Teorema de Tales é fundamental para o desenvolvimento do conceito de semelhança de triângulos.

Razões e propriedades de proporções

Uma razão é o quociente de dois números, com o divisor diferente de zero; quer dizer:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{com\;}}b \ne 0\)

Uma proporção é a igualdade de duas razões, ou seja:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) também é chamado de constante de proporcionalidade.

Propriedades das proporções

Se \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) então para \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

exemplos

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

O par de segmentos \(\overline {AB} \) e \(\overline {CD} \) são proporcionais aos segmentos \(\overline {EF} \) e \(\overline {GH} \) se a proporção for cumprida:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Onde \(AB\;\) denota o comprimento do segmento \(\overline {AB} .\)

teorema de tales

Voltando à definição, vários paralelos determinam segmentos correspondentes proporcionais em suas retas transversais.

Na figura 3, as retas são paralelas e podemos garantir:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Observemos que as duas primeiras proporções anteriores são equivalentes às seguintes proporções:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)De cima Nós temos:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Em muitas ocasiões é melhor trabalhar com as proporções anteriores e neste caso:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Recíproco do Teorema de Tales

Se várias retas determinam segmentos correspondentes proporcionais em suas retas transversais então as retas são paralelas

Se na figura 4 for cumprido

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Então podemos afirmar que: \({L_1}\paralelo {L_2}\paralelo {L_3}.\)

A notação \({L_1}\parallel {L_2}\), lida \({L_1}\) é paralela a \({L_2}\).

Da proporção anterior obtemos:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Divisão de um segmento em várias partes de igual comprimento

Através de um exemplo concreto ilustraremos como dividir um segmento em partes de igual comprimento.

Divida o segmento \(\overline {AB} \) em 7 segmentos de igual comprimento

Situação inicial

Desenhe uma linha auxiliar que passe por uma das extremidades do segmento

Com o auxílio de um compasso, traçam-se 7 segmentos de igual comprimento na linha auxiliar

Desenhe a linha que une as extremidades do último segmento desenhado e a outra extremidade do segmento a ser dividido

Eles são traçados paralelamente à última linha recém-desenhada que passa pelos pontos onde os arcos da circunferência se cruzam com a linha auxiliar.

Dado um segmento \(\overline {AB} \), diz-se que um ponto \(P\) do segmento divide o segmento \(\overline {AB} \), na razão \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Divisão de um segmento em uma dada razão

Dado um segmento \(\overline {AB} \), e dois inteiros positivos \(a, b\); o ponto \(P\) que divide o segmento na razão \(\frac{a}{b};\;\) pode ser encontrado da seguinte forma:

1. Divida o segmento \(\overline {AB} \) em \(a + b\) segmentos de igual comprimento.
2. Pegue \(a\) segmentos contando a partir do ponto \(A\).

exemplos

Divisão do segmento \(\overline {AB} \) na razão \(\frac{a}{b}\)

Razão	Número de partes em que o segmento é dividido	Localização do ponto \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Exemplos aplicados do Teorema de Tales

aplicativo 1: Três lotes se estendem da rua Sol até a rua Luna, conforme mostra a figura 5.

Os limites laterais são segmentos perpendiculares à Rua Luna. Se a frente total dos lotes da rua Sol mede 120 metros, determine a frente de cada lote dessa rua, se também for conhecida:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Exposição do problema

Como as linhas são perpendiculares à Rua Luna, então elas são paralelas entre si, aplicando o Teorema de Tales podemos afirmar:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Dos anteriores podemos concluir:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Da mesma forma podemos concluir:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Solução

Para determinar a constante de proporcionalidade \(k,\) usaremos propriedades de proporções:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Do exposto obtemos:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\esquerda( {10} \direita) = 12.\)

Analogamente:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\esquerda( {20} \direita) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\esquerda( {30} \direita) = 36\)

Responder

Segmento	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Comprimento	12m	48m	24m	36m

aplicação 2: Um designer gráfico projetou uma prateleira em forma de paralelogramo e colocará 3 prateleiras conforme mostrado na Figura 6, os pontos E e F são os pontos médios dos lados \(\overline {AD} \) e \(\overline {BC} ,\) respectivamente. Tem que fazer cortes nas prateleiras para poder fazer as montagens. Em que parte das prateleiras devem ser feitos os cortes?

Enunciado do problema: Devido às condições dadas no problema, o seguinte é cumprido:

\(ED = EA = CF = BF\)

Como construções auxiliares vamos estender os lados \(\overline {CB} \) e \(\overline {DA} \). Uma linha é traçada através do ponto A através de \(A\) e paralela ao lado \(\overline {EB} \) e através do ponto \(C\;\) uma linha é traçada paralela ao lado \(\overline {DF} \).

Usaremos o Teorema do Reverso de Tales para mostrar que os segmentos \(\overline {EB} \) e \(\overline {DF} \) são paralelos para aplicar o Teorema de Tales.

Solução

Por construção o quadrilátero \(EAIB\) é um paralelogramo então temos que EA=BI, pois são lados opostos de um paralelogramo. Agora:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Aplicando o recíproco o recíproco do Teorema de Tales podemos concluir:

\(\overline {AI} \paralelo \overline {EB} \paralelo \overline {DF} \paralelo \overline {JC} \)

Tomando os segmentos \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) e os segmentos BC e CI como suas transversais; como:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Tomando \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) e os segmentos \(\overline {AC} \) e \(\overline {EB} \) como suas transversais teremos:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\esquerda({AG} \direita)}} = \frac{1}{2}\)

Da mesma forma, mostra-se que:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Respostas

Cortes diagonais \(\overline {AC} \) devem ser feitos nos pontos \(G\;\) e \(H\), de forma que:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

O mesmo vale para as prateleiras \(\overline {EB} \) e \(\overline {DF} \).