Definição de Racionalização de Radicais (matemática)

A racionalização de radicais é um processo matemático que se realiza quando existe um quociente com radicais ou raízes no denominador. Desta forma, as operações matemáticas podem ser facilitadas onde estão envolvidos quocientes com radicais e outros tipos de objetos matemáticos.

Tipos de quocientes com radicais

É importante mencionar alguns tipos de quocientes com radicais que podem ser racionalizados. No entanto, antes de entrar totalmente no processo de simplificação, alguns conceitos importantes precisam ser lembrados. Primeiro, suponha que temos a seguinte expressão: \(\sqrt[m]{n}\). Esta é a raiz \(m\) do número \(n\), ou seja, o resultado da referida operação é um número tal que elevado à potência \(m\) nos dá o número \(n\) como resultado). A potência e a raiz são operações inversas, de modo que: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Por outro lado, vale ressaltar que o produto de duas raízes iguais é igual à raiz do produto, ou seja: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Essas duas propriedades serão nossos melhores aliados na hora de racionalizar.

O tipo de quociente com radical mais comum e simples que podemos encontrar é o seguinte:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Onde \(a\), \(b\) e \(c\) podem ser quaisquer números reais. O processo de racionalização neste caso consiste em encontrar uma forma de obter no quociente a expressão \(\sqrt {{c^2}} = c\) para se livrar do radical. Nesse caso, basta multiplicar por \(\sqrt c \) tanto o numerador quanto o denominador:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Lembrando do que foi dito acima, sabemos que \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Portanto, finalmente obtemos que:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Dessa forma, racionalizamos a expressão anterior. Esta expressão nada mais é do que um caso particular de uma expressão geral que é a seguinte:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Onde \(a\), \(b\), \(c\) são quaisquer números reais e \(n\), \(m\) são potências positivas. A racionalização desta expressão é baseada no mesmo princípio da anterior, ou seja, obter a expressão \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) no denominador. Podemos conseguir isso multiplicando por \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) o numerador e o denominador:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Podemos desenvolver o produto de radicais no denominador da seguinte forma: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Portanto, o quociente racionalizado permanece como:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Outro tipo de quociente com radicais que pode ser racionalizado é aquele em que temos um binômio com raízes quadradas no denominador:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Onde \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) e \(e\;\)são quaisquer números reais. O símbolo \( ± \) indica que o sinal pode ser positivo ou negativo. O denominador binômio pode ter as duas raízes ou apenas uma, porém, usamos este caso para obter um resultado mais geral. A ideia central para realizar o processo de racionalização neste caso é a mesma dos casos anteriores, só que neste caso multiplicaremos tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do binômio encontrado no denominador. O conjugado de um binômio é um binômio que tem os mesmos termos, mas cujo símbolo central é oposto ao binômio original. Por exemplo, o conjugado do binômio \(ux + vy\) é \(ux – vy\). Dito isso, temos então:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

O símbolo \( \mp \) indica que o sinal pode ser positivo ou negativo, mas tem que ser oposto ao símbolo do denominador para que os binômios sejam conjugados. Desenvolvendo a multiplicação de binômios do denominador obtemos que:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Finalmente obtemos isso:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Com isso racionalizamos o quociente com radical. Esses quocientes com radicais são os que geralmente podem ser racionalizados. A seguir, veremos alguns exemplos de racionalização de radicais.

exemplos

Vejamos alguns exemplos de racionalização com quocientes com radicais do tipo citado acima. Primeiro suponha que temos o seguinte quociente:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Neste caso basta multiplicar o numerador e o denominador por \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Agora, suponha que temos o seguinte quociente com radical:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

Neste caso, temos uma sexta raiz de uma potência cúbica. Na seção anterior mencionamos que se tivermos um radical da forma \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) no denominador, podemos racionalizar o quociente multiplicando o numerador e o denominador por \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Comparando com o caso aqui apresentado podemos perceber que \(n = 6\), \(c = 4\) e \(m = 3\), portanto Portanto, podemos racionalizar o quociente anterior multiplicando o numerador e o denominador por \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Finalmente, suponha que temos a seguinte função:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Conforme mostrado na seção anterior, para racionalizar esse tipo de quociente com radicais, você deve multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Neste caso o conjugado do denominador seria \(x – \sqrt x \). Portanto, a expressão seria a seguinte:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \direita)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Desenvolvendo a multiplicação de binômios conjugados do denominador, finalmente obtemos que:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referências

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Aritmética. México: Pearson Education.