Definição do Princípio/Equação de Bernoulli

O Princípio de Bernoulli, muitas vezes também chamado de Equação de Bernoulli, é um dos conceitos mais importantes em hidrodinâmica e mecânica dos fluidos. Foi formulado pelo físico e matemático suíço Daniel Bernoulli em 1738 como parte de seu trabalho "hidrodinâmica” e parte da conservação de energia em um fluido ideal em movimento.

Imaginemos a seguinte situação: Temos uma mangueira por onde corre água, que sai da mangueira com uma certa velocidade e uma certa pressão. Em seguida, passamos a cobrir parcialmente o orifício de saída da mangueira com o dedo; ao fazer isso, vemos como a água agora sai com maior velocidade. Este é um exemplo do princípio de Bernoulli em ação.

Fluidos ideais em movimento

O princípio de Bernoulli se aplica a fluidos ideais em movimento, portanto, antes de explicar esse princípio, é importante mencionar o que queremos dizer com fluido ideal. Um fluido ideal é uma simplificação de um fluido real, isso é feito porque a descrição de um fluido ideal é matematicamente mais simples e nos dá resultados úteis que podem ser posteriormente estendidos para o caso fluido real.

Existem quatro suposições que são feitas para considerar um fluido ideal e todas elas têm a ver com o fluxo:

• Escoamento estacionário: Um escoamento estacionário é aquele em que a velocidade com que o fluido se move é a mesma em qualquer ponto do espaço. Em outras palavras, assumimos que o fluido não sofre turbulência.

• Incompressibilidade: Supõe-se também que um fluido ideal seja incompressível, ou seja, que tenha uma densidade constante em todos os momentos.

• Não-viscosidade: A viscosidade é uma propriedade dos fluidos que, em termos gerais, representa a resistência que o fluido opõe ao movimento. A viscosidade pode ser considerada análoga ao atrito mecânico.

• Escoamento irrotacional: Com esta hipótese nos referimos ao fato de que o fluido em movimento não realiza nenhum tipo de movimento circular em torno de nenhum ponto de sua trajetória.

Ao fazer essas suposições e ter um fluido ideal, simplificamos muito o tratamento matemático e também asseguramos a conservação da energia, que é o ponto de partida para o princípio da Bernoulli.

A equação de Bernoulli explicada

Consideremos um fluido ideal movendo-se através de um tubo conforme mostrado na figura a seguir:

Vamos agora usar o Teorema do Trabalho e da Energia Cinética, que é outra forma de expressar a Lei da Conservação da Energia, isso nos diz que:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Onde \(W\) é o trabalho mecânico total e \({\rm{\Delta }}K\) é a variação da energia cinética entre dois pontos. Neste sistema temos dois tipos de trabalho mecânico, um que é realizado pela força da gravidade sobre o fluido e outro que resulta da pressão do fluido. Seja \({W_g}\) o trabalho mecânico realizado pela gravidade e \({W_p}\) o trabalho mecânico realizado pela pressão, podemos então dizer que:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Como a gravidade é uma força conservativa, o trabalho mecânico realizado por ela será igual à diferença de energia potencial gravitacional entre dois pontos. A altura inicial em que o fluido se encontra é \({y_1}\) e a altura final é \({y_2}\), portanto, temos:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Onde \({\rm{\Delta }}m\) é a porção de massa do fluido que passa por um determinado ponto e \(g\) é a aceleração da gravidade. Como o fluido ideal é incompressível, então \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Onde \(\rho \) é a densidade do fluido e \({\rm{\Delta }}V\) é a porção de volume que flui através de um ponto. Substituindo na equação acima temos:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Consideremos agora o trabalho mecânico realizado pela pressão do fluido. Pressão é a força exercida por unidade de área, ou seja, \(F = PA\). Por outro lado, o trabalho mecânico é definido como \(W = F{\rm{\Delta }}x\) onde \(F\) é a força aplicada e \({\rm{\Delta }}x\) é o deslocamento realizado neste caso no eixo x. Neste contexto podemos pensar em \({\rm{\Delta }}x\) como o comprimento da porção de fluido que escoa por um determinado ponto. Combinando as duas equações temos que \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Podemos perceber que \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), ou seja, é a porção de volume que flui através do referido ponto. Portanto, temos que \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

No ponto inicial, o trabalho mecânico realizado no sistema é igual a \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) e no ponto final o sistema realiza um trabalho mecânico na vizinhança igual a \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). O trabalho mecânico devido à pressão do fluido será então o trabalho realizado no sistema menos o trabalho que ele realiza em sua vizinhança, ou seja:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \esquerda( {{P_1} – {P_2}} \direita){\rm {\Delta }}V\)

Finalmente, a diferença de energia cinética \({\rm{\Delta }}K\) será igual à energia cinética no ponto final menos a energia cinética no ponto inicial. Quer dizer que:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\esquerda( {v_2^2 – v_1^2} \direita)\)

Do exposto, sabemos que \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). A equação acima fica então como:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\esquerda( {v_2^2 – v_1^2} \direita)\)

Substituindo todos os resultados obtidos na equação de conservação de energia, obtém-se que:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \direita) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\esquerda( {v_2^2 – v_1^2} \direita)\)

Podemos fatorar o termo \({\rm{\Delta }}V\) em ambos os lados da equação, o que leva a:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \certo)\)

Desenvolvendo os produtos que faltam temos que:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Reorganizando todos os termos em ambos os lados da equação, obtemos que:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Esta equação é uma relação entre o estado inicial e o estado final do nosso sistema. Podemos finalmente dizer que:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = constante\)

Esta última equação é a Equação de Bernoulli da qual seu princípio é derivado. O Princípio de Bernoulli é uma lei de conservação para um fluido ideal em movimento.

Referências

David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. (2011). Fundamentos de Física. Estados Unidos: John Wiley & Sons, Inc.