Definição de Força Centrípeta

A força centrípeta é uma força que atua sobre um objeto que se move ao longo de uma trajetória curva. A direção dessa força é sempre em direção ao centro da curva e é o que mantém o objeto nesse caminho, impedindo-o de continuar seu movimento em linha reta.

Movimento curvilíneo e força centrípeta

Suponha que temos um objeto se movendo ao longo de uma trajetória circular. Para descrever o movimento curvilíneo deste corpo, são utilizadas variáveis ​​angulares e lineares. Variáveis ​​angulares são aquelas que descrevem o movimento do objeto em termos do ângulo que ele “varre” ao longo de seu caminho. Por outro lado, variáveis ​​lineares são aquelas que utilizam sua posição em relação ao ponto de rotação e sua velocidade na direção tangencial do curva.

A aceleração centrípeta \({a_c}\) experimentada por um objeto movendo-se em uma trajetória circular com velocidade tangencial \(v\) e a uma distância \(r\) do ponto de rotação será dado por:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

A aceleração centrípeta é uma variável linear usada para descrever o movimento curvilíneo e é direcionada para o centro do caminho curvo. Por outro lado, a velocidade angular ω do objeto, ou seja, a taxa de variação do ângulo varrido (em radianos) por unidade de tempo, é dada por:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Ou podemos resolver para \(v\):

\(v = \ômega r\)

Esta é a relação que existe entre velocidade linear e velocidade angular. Se inserirmos isso na expressão da aceleração centrípeta, obteremos:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

A segunda lei de Newton nos diz que a aceleração de um corpo é diretamente proporcional à força aplicada a ele e inversamente proporcional à sua massa. Ou, na sua forma mais conhecida:

\(F = mãe\)

Onde \(F\) é a força, \(m\) é a massa do objeto e \(a\) é a aceleração. No caso do movimento curvilíneo, se houver aceleração centrípeta, também deve haver uma força centrípeta \({F_c}\) que atua sobre o corpo de massa \(m\) e que causa a aceleração centrípeta \({a_c}\), é dizer:

\({F_c} = m{a_c}\)

Substituindo as expressões anteriores pela aceleração centrípeta obtemos que:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

A força centrípeta é direcionada para o centro da trajetória curvilínea e é responsável por mudando constantemente a direção em que o objeto se move para mantê-lo em movimento curvado.

A gravidade como força centrípeta e a Terceira Lei de Kepler

A terceira lei do movimento planetário de Kepler afirma que o quadrado do período orbital, ou seja, o tempo O tempo que um planeta leva para completar uma órbita ao redor do Sol é proporcional ao cubo do semieixo maior do Sol. órbita. Quer dizer que:

\({T^2} = C{r^3}\)

Onde \(T\) é o período orbital \(C\), é uma constante e \(r\) é o semieixo maior, ou a distância máxima entre o planeta e o Sol ao longo de sua órbita.

Para simplificar, considere um planeta de massa \(m\) movendo-se ao longo de uma órbita circular em torno do Sol, embora esta análise possa ser estendida ao caso de uma órbita elíptica e obter o mesmo resultado. A força que mantém o planeta em sua órbita é a gravidade, que será:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Onde \({F_g}\) é a força da gravidade, \({M_S}\) é a massa do Sol, \(G\) é a constante de gravitação universal e \(r\) é a distância entre o planeta e o sol. No entanto, se o planeta se mover ao longo de uma órbita circular, ele experimentará uma força centrípeta \({F_c}\) que o mantém nessa trajetória e que em termos da velocidade angular \(\omega \) será dado por:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

O curioso é que neste caso a gravidade é aquela força centrípeta que mantém o planeta em sua órbita, em poucas palavras \({F_g} = {F_c}\), portanto, podemos dizer que:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

O que podemos simplificar como:

\(G{M_S} = {\ômega ^2}{r^3}\)

A velocidade angular está relacionada ao período orbital da seguinte maneira:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Substituindo isso na equação anterior obtemos que:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Reorganizando os termos, finalmente obtemos que:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Esta última é justamente a Terceira Lei de Kepler que apresentamos anteriormente e se compararmos a constante de proporcionalidade seria \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

E a força centrífuga?

É mais comum neste tipo de movimento falar em “força centrífuga” em vez de força centrípeta. Acima de tudo, porque é o que aparentemente sentimos quando vivenciamos isso. No entanto, a força centrífuga é uma força fictícia resultante da inércia.

Vamos imaginar que estamos andando em um carro que viaja a uma determinada velocidade e freia repentinamente. Quando isso acontecer sentiremos uma força que nos empurra para frente, porém, essa força aparente que sentimos é a inércia do nosso próprio corpo que quer manter seu estado de movimento.

No caso de um movimento curvilíneo, a força centrífuga é a inércia do corpo que deseja manter sua posição. movimento retilíneo, mas está sujeito a uma força centrípeta que o mantém no caminho curvo.

Referências

David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. (2011). Fundamentos de Física. Estados Unidos: John Wiley & Sons, Inc.