Exemplo de propriedade distributiva

O propriedade distributiva é uma propriedade de multiplicação que nos diz que se multiplicarmos um número por outro, o resultado é o mesmo como se multiplicássemos o primeiro número pela adição ou subtração que resulta no segundo número.

Para expressar uma multiplicação com uma propriedade distributiva, usamos os parênteses.

Por exemplo, se tivermos a multiplicação:

6 X 9 = 54

Sabemos que o número 9 é o resultado da adição de 5 + 4. Aplicando a propriedade distributiva, a multiplicação será expressa assim:

6(5+4)

Isso significa que multiplicaremos o número 6 por cada um dos membros da soma e, então, realizaremos a soma:

6 (5 + 4) = (6X5) + (6X4) = 30 + 24 = 54

E como vemos, obtemos o mesmo resultado. A propriedade distributiva também se aplica à subtração:

6 (10–1) = (6X10) - (6X1) = 60 - 6 = 54

Esta propriedade distributiva também é usada para obter o produto de duas adições ou subtrações, ou de uma adição e uma subtração. Nestes casos, cada um dos membros da primeira operação é multiplicado por cada um dos membros da segunda operação e, em seguida, as operações são realizadas:

(5 + 2) (3 + 4) = (5X3) + (5X4) + (2X3) + (2X4) = 15 + 20 + 6 + 8 = 49

Executando as operações dos parênteses primeiro: 7 X 7 = 49

(7–3) (6–2) = (7X6) + (7X - 2) + (- 3X6) + (- 3X - 2) = 42–14–18 + 6 = 16

Executando as operações dos parênteses primeiro: 4 X 4 = 16

A propriedade distributiva é útil especialmente para calcular números muito grandes, bem como em álgebra.

Se tivermos um número complexo, como 5648, e quisermos multiplicá-lo por 8, podemos decompor 5648 em notação decimal, multiplicar os componentes por 8 e, em seguida, fazer a adição:

8 (5000 + 600 + 40 + 8) = (8X5000) + (8X600) + (8X40) + (8X8) = 40000 + 4800 + 320 + 16 = 45136.

Na álgebra, muitos valores numéricos são substituídos por valores literais (expressos com letras), bem como valores com expoentes, e aqui a propriedade distributiva é muito útil. As mesmas regras que já explicamos são seguidas:

(a + 3ab + c) (b - 2) = (ab) + (- 2a) + (3ab²) + (- 6ab) + (bc) + (- 2c) = [Pedimos e reduzimos os sinais] -2a + ab - 6ab + 3ab²+ bc - 2c = –2a - 5ab + 3ab²+ bc - 2c [observe que reduzimos os termos comuns que o literal ab tem]

Exemplos de propriedade distributiva:

Sergio tem 7 cofrinhos, e em cada um deles depositou a mesma quantidade de moedas e notas. Em cada um colocou 3 notas de 10 pesos e 4 moedas de 5 pesos. Isso significa que em cada cofrinho ele colocou 30 pesos em notas e 20 pesos em moedas. Para calcular quanto dinheiro você economizou no total em seus cofrinhos, faça o seguinte cálculo:

(30 + 20) 7 = (30X7) + (20X7) = 210 + 140 = 350

Ou seja, você primeiro multiplicou o dinheiro total que colocou em notas pelo total de cofrinhos e em seguida, multiplique o total do dinheiro em moedas pelo total de cofrinhos e, em seguida, adicione o resultados.

Seu irmão Esteban faz o cálculo somando o total do que ele colocou em cada cofrinho e depois multiplicando pelo total de cofrinhos:

30 pesos em notas de 10 e 20 pesos em moedas de 5: 30 + 20 = 50

Multiplicamos o total de cada cofrinho pelo total de cofrinhos: 50 X 7 = 350

Como podemos ver, os dois alcançaram o mesmo resultado.

• (4 + 2) 3 = (4 x 3) + (2 x 3) = 12 + 6 = 18
• (6 + 9) 10 = (6 x 10) + (9 x 10) = 60 + 90 = 150
• 5x (3 - 4) = ((5 x) (3)) + ((5x) (- 4)) = 15x - 20x = –5x
• (3 + 9) 9 = (3 X 9) + (9 X 9) = 27 + 81 = 108
• 2 (5 + 7) = (2 X 5) + (2 X 7) = 24
• (8 + 5) (5 + 7) = (8X5) + (8X7) + (5X5) + (5X7) = 40 + 56 + 25 + 35 = 156
• (11–3) (8–3) = (11X8) + (11X - 3) + (- 3X8) + (- 3X - 3) = 88–33–24 + 9 = 40
• (a + 2b + c) 3 = (3a) + (6b) + (3c) = 3º + 6b + 3c
• (a + b) (a - b) = [(a) (a)] + [(a) (- b)] + [(b) (a)] + [(b) (- b)] = [ para²] + [- ab] + [ab] + [- b²] = a²–B²
• (a - b - c) (a²+ 3ab + 4b²+ c) = (a³) + (3º²b) + (4ab²) + (ac) + (–a²b) + (–3ab²) + (–4b³) + (–Bc) + (–a²c) + (–3abc) + (–4 b²c) + (–c²) = a³ + 3a²b + 4ab² + ac - a²b - 3ab² - 4b³ - bc - a²c - 3abc - 4b²c - c² = a³ + 2a²b + ab² - 4b³ + ac - bc - 3abc - a²c - 4b²c - c²

Se somarmos dois números e, em seguida, multiplicarmos o resultado por outro número, obtemos o mesmo resultado que se multiplicarmos cada um dos adendos pelo mesmo número e, em seguida, adicionarmos os produtos obtido.
Exemplos de propriedade distributiva:
Sergio conta todo o dinheiro que guardava em seus cofrinhos e faz o seguinte cálculo:
(30 + 20) x 7 = 350
Ele somou o valor de três notas (30) e de duas moedas (20) e multiplicou o resultado por 7.
20 x 7 + 30 x 7 = 140 + 210 = 350
Nesse caso, ele multiplicou o valor das moedas (20) por sete e multiplicou o valor das notas (30), e somou os dois resultados. Ele concluiu que em ambas as situações o resultado final é o mesmo.
Na propriedade distributiva, o produto de uma soma ou adição por um número é igual à soma dos produtos de cada um dos adendos pelo mesmo número.
Outros exemplos da propriedade distributiva:
1) (4 + 2) x 3 = 4 x 3 + 2 x 3 = 18
2) (6 + 9) x 10 = 6 x 10 + 9 x 10 = 150
3) 5 x (3 + 4) = 5 x 3 + 5 x 4 = 35
4) (3 + 9) x 9 = 3 x 9 + 9 x 9 = 108
5) 2 x (5 + 7) = 2 x 5 + 2 x 7 = 24
Lembre-se de que na propriedade distributiva os sinais (+) e (-) separam os termos. E as operações que estão entre parênteses são resolvidas primeiro.