Exemplo de razões e proporções

As relações e proporções, chamamos razão ao quociente que é indicado por dois números e que representa a relação entre duas quantidades e um proporção à igualdade que existe entre duas ou mais razões.

1. Razão

Uma proporção indica na forma de divisão a relação entre duas quantidades. Diz-nos quantas unidades existem em relação às outras e normalmente é indicada simplificando as frações.

Por exemplo, se em uma sala de aula temos 24 meninas e 18 meninos, então iremos representá-la de uma das seguintes maneiras:

24/18
24:18

E como podemos simplificar a fração dividindo-a por 6, teremos:

4/3
4:3

E lê que há uma proporção de 4 para 3, ou 4 para cada 3.

Cada um dos valores de uma proporção tem um nome. O valor que está do lado esquerdo da relação é chamado antecedente, e o valor do lado direito é chamado conseqüente.

Nesse caso, a proporção de meninas para meninos é de 4 para 3, ou 4 meninas para cada 3 meninos.

2. Proporção

A proporção indica por uma igualdade a comparação de duas razões. Para escrever uma proporção, devemos levar em conta que os valores antecedentes estão sempre do mesmo lado, assim como os consequentes.

Em nosso exemplo de sala de aula, podemos comparar a proporção que temos, de 4 meninas para cada 3 meninos, e podemos calcular quantos meninos estão em uma sala em relação ao número de meninas ou vice-versa. Para isso, em primeiro lugar escreveremos a proporção que já conhecemos:

4:3

Então, um sinal de igual

4:3=

E depois o valor total, por exemplo aquele da mesma sala, lembrando que devemos respeitar a ordem do antecedente e do consequente. Em nosso exemplo, o antecedente será o número de meninas e o consequente o número de meninos.

4:3=24:18

Para verificar a igualdade da proporção, são realizadas duas multiplicações. Em uma proporção, tomaremos o sinal de igual como referência. Os números mais próximos são chamados de centros e os números mais distantes são os extremos. Em nosso exemplo, os números 3 e 24 são os mais próximos do sinal de igual, portanto, são os centros. O 4 e o 18 são os extremos. Para verificar se a proporção está correta, o produto da multiplicação dos centros deve ser igual ao produto da multiplicação dos extremos:

3 X 24 = 72
4 X 18 = 72

2.1 Proporção direta e proporção inversa

As proporções podem expressar relações nas quais aumentar a quantidade do antecedente aumenta a quantidade do consequente. Essa variação é chamada de proporção direta. O exemplo acima é uma proporção direta.

Na proporção inversa, o aumento da quantidade no antecedente, significa a diminuição da quantidade no consequente.

Por exemplo, em uma loja de móveis, 6 trabalhadores fazem 8 cadeiras em 4 dias. Se quisermos saber quantos trabalhadores são necessários para construir as 8 cadeiras em 1, 2 e 3 dias, usaremos uma proporção inversa.

Para determiná-lo, usaremos o número de trabalhadores como o número antecedente e o número de dias como o número consequente:

6:4=

Seguindo a mesma ordem, do outro lado da igualdade teremos como precedente novamente o número de trabalhadores e, por conseguinte, os dias que isso levará. Teremos algo como o seguinte:

6:4 = ?:3
6:4 = ?:2
6:4 = ?:1

Para determinar a proporção inversa, multiplicaremos os fatores da razão conhecida, em nosso exemplo, 6 e 4, e dividiremos o resultado pelos dados conhecidos da segunda razão. Assim, em nosso exemplo, teremos:

6 X 4 = 24
24 / 3 = 8
24 / 2 = 12
24 / 1 = 24

Assim teremos as seguintes proporções:

6:4 = 8:3
6:4 = 12:2
6:4 = 24:1

Com o que podemos calcular para produzir as 8 poltronas em três dias, precisamos de 8 operários; para fazê-los em dois dias, precisamos de 12 trabalhadores, e para fazê-los em 1 dia, precisamos de 24 trabalhadores.

Exemplos de razões

1. Em uma caixa, temos 45 bolinhas azuis e 105 bolinhas vermelhas. Expressamos como 45: 105 e dividindo por 15, temos que a proporção é de 3: 7 (três para cada sete), ou seja, três bolinhas azuis para cada sete bolinhas vermelhas.
2. Em uma turma da escola, cada bola é utilizada por cada equipe de cinco crianças, ou seja, temos cinco alunos para cada bola de futebol. Temos então neste exemplo de razão que a relação entre alunos - bolas é de 5 para 1. Essa proporção é escrita 5: 1 e concluímos que há uma proporção de cinco alunos para cada bola de futebol.
3. Em um estacionamento estão carros de fábricas asiáticas e americanas. No total, são 3.060 carros, dos quais 1.740 são de fabricação asiática e o restante, 1.320, são de fabricação americana. Isso nos dará que a proporção é 1740/1320. Para simplificar, primeiro dividimos por 10, o que nos deixa 174/132. Se dividirmos agora por 6, teremos a razão 29:22, ou seja, no estacionamento há 29 carros asiáticos para cada 22 carros americanos.

Exemplos de proporções:

Proporção direta:

1. Em uma loja, doces nacionais e importados são vendidos na proporção de 3: 2 Se sabemos que 255 doces nacionais são vendidos por dia, quantos doces importados são vendidos por dia?

3:2=255:?
2 X 255 = 510
510/3 = 170 doces importados.
3: 2 = 255: 170 (três é para dois como 255 é para 170).

1. Meninos e meninas foram convidados para uma festa. Se soubermos que 6 meninas compareceram para cada 4 meninos, e há 32 meninos na festa, quantas meninas foram?

6:4 = ?:32
32 X 6 = 192
192/4 = 48 meninas foram à festa.
6: 4 = 48:32 (6 é 4, pois 48 é 32)

1. Para montar uma mesa, são necessários 14 parafusos. Quantos parafusos precisamos para montar 9 mesas?

14:1 = ?:9
14 X 9 = 126
126/1 = 126 parafusos são necessários.
14: 1 = 126: 9 (14 está para 1 como 126 está para 9)

Proporção inversa:

1. Dois guindastes movimentam 50 contêineres em uma hora e meia. Quantos guindastes são necessários para movimentar os 50 contêineres em meia hora?

2:1.5 =?:.5
2 X 1,5 = 3
3 / .5 = 6 guindastes são necessários.
2: 1.5 = 6: .5 (dois guindastes duram uma hora e meia, como seis guindastes duram meia hora)

1. Se 4 alunos fizerem um trabalho em equipe em 45 minutos, quanto tempo levará se a equipe for composta por 6, 8, 10 e 12 alunos?

Teremos as seguintes proporções:

a) 4:45 = 6:?
b) 4:45 = 8:?
c) 4:45 = 10:?
d) 4:45 = 12:?

4 X 45 = 180

a) 180/6 = 30 minutos
b) 180/8 = 22,5 minutos
c) 180/10 = 18 minutos
d) 180/12 = 15 minutos

Portanto, as proporções serão:

a) 4:45 = 6:30
b) 4:45 = 8: 22,5
c) 4:45 = 10:18
d) 4:45 = 12:15

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