Exemplo do binômio de Newton

O Binômio de Newton, Tambem chamando "teorema binomial " é um logaritmo que nos permite obter poderes de binômios.

Para obter a potência binomial, os coeficientes chamados “coeficientes binomiais"Que consistem em sequências de combinações.

Exemplo 1, fórmulas gerais do binômio de Newton:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 para²b + 3 ab² + b³

Essas fórmulas são conhecidas pelo nome de identidades notáveis, onde uma fórmula mais geral é criada que é equivalente ao desenvolvimento de (a + b)ⁿ, onde n é qualquer número inteiro natural.

Esta fórmula é válida para qualquer elemento para Y b de um anel,

A (para leis + Y x) para

Condicione que os dois elementos paraY b ser tal que para x b = b x para:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n para^n-2 xb² + ...
+ C^p_n  para^n-p x b^p +… + C_pⁿ¹ + bⁿ.

O C^p_n são inteiros naturais, chamados coeficientes binomiais (aqueles que expressam o número de combinações de n itens levados p para p; pode ser facilmente calculado graças ao triângulo de Pascal).

Exemplo 2, do binômio de Newton:

Consideramos a multiplicação:

z. z = z² onde z pode ser qualquer expressão algébrica:

Agora suponha que z = x + Y, então:

z. z = (x + y) = (x + y) mas (x + y)

que pode ser calculado assim:

x + y
x + y

Aqui, a multiplicação é realizada da esquerda para a direita e o resultado é obtido adicionando algebricamente:

x² + x y
+ xy + y²

x² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Se considerarmos:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Quando a multiplicação é realizada, obtemos:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + e²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + e³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + e³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

E quando fazemos a multiplicação.

x³ + x² y + 3 x y² + e³

x + y_________________

x⁴ + 3 x³ y + 3 x² Y² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + e⁴

x⁴ + 4x³e + 6x² y + 4xy³ + e⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³e + 6x² Y² + 4xy³ + e⁴