Exemplo de Espaço Completo

Análise Matemática é o ramo das ciências matemáticas que lida com o estudo de espaço completo, que é um tipo de espaço métrico.

Um espaço métrico é formado por pares de pontos e em função da distância entre eles; nesses espaços é possível definir uma sequência de Cauchy que é formada por distâncias cada vez menores entre esses dois pontos. Quando no espaço métrico não é mais possível encontrar uma distância menor na sequência, então temos um espaço completo. Os conjuntos numéricos fechados, ou seja, aqueles em que há um limite, são espaços completos.

Exemplo de espaço completo:

O conjunto de números naturais, incluindo 0, é um espaço completo, pois esse conjunto é fechado pelo extremo de 0. A representação deste conjunto de números é N= [0, 1, 2,… n}.

Vamos tomar quaisquer dois pontos entre dois elementos deste conjunto, por exemplo 4 e 8, representados da seguinte maneira p = (4, 8), a função de distância entre dois pontos é igual a 4, a sequência de Cauchy é dada pela sequência {4, 3, 2, 1, 0} que converge em 0.

Outro exemplo é o conjunto de números reais positivos formados com {0}, que é representado como E⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, uma vez que dados dois pontos neste espaço, a sequência de Cauchy irá convergir quando a distância for 0

O conjunto de números racionais não é um espaço completo, uma vez que a distância 0 (o número 0 como um número não existe neste conjunto), o que torna a sequência de Cauchy não convergente em qualquer ponto deste definir.

Qualquer intervalo fechado dos números naturais é um espaço completo.