Ce sunt ecuațiile lui Maxwell și cum sunt definite?

Angel Zamora Ramirez | iul. 2022
Licenta in fizica

Înainte de aceste ecuații, se spunea că forțele electrice și magnetice sunt „forțe la distanță”, nu se cunoștea niciun mijloc fizic prin care să se producă acest tip de interacțiune. După mulţi ani de cercetări asupra electricitate Y magnetism, Michael Faraday a intuit că ar trebui să existe ceva fizic în spațiul dintre sarcini și curenții electrici care să le permită să interacționeze între ele și să manifeste toate fenomenele electrice și magnetice cunoscute, el le-a numit la început „linii de forță”, ceea ce a condus la ideea existenței unui câmp electromagnetic.

Pornind de la ideea lui Faraday, James Clerk Maxwell dezvoltă o teorie a câmpului reprezentată de patru ecuații cu diferențe parțiale. Maxwell s-a referit la aceasta ca „teoria electromagnetică” și a fost primul care a încorporat acest tip de limbaj matematic într-o teorie fizică. Ecuațiile lui Maxwell în forma lor diferențială pentru vid (adică în absența materialelor dielectrice și/sau polarizabile) sunt după cum urmează:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Ecuațiile lui Maxwell pentru vid în forma sa diferențială

Unde \(\vec{E}~\)este câmpul electric, \(\vec{B}~\)este câmpul magnetic, \(\rho ~\)este densitatea incarcare electrica, \(\vec{J}~~\)este un vector asociat cu a curent electric, \({{\epsilon }_{0}}~\)este permitivitatea electrică a unui vid și \({{\mu }_{0}}~~\)este permeabilitatea magnetică a unui vid. Fiecare dintre aceste ecuații îi corespunde a lege de electromagnetism și are un sens. Voi explica pe scurt pe fiecare dintre ele mai jos.

legea lui Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Legea lui Gauss pentru câmpul electric

Ceea ce ne spune această primă ecuație este că sarcinile electrice sunt sursele câmpului electric, acest câmp electric „diverge” direct de la sarcini. În plus, direcția câmpului electric este dictată de semnul sarcinii electrice care îl produce, iar cât de apropiate sunt liniile de câmp indică mărimea câmpului în sine. Imaginea de mai jos rezumă oarecum ceea ce tocmai s-a menționat.

Ilustrația 1. Din Studiowork.- Diagrama câmpurilor electrice generate de două sarcini punctiforme, una pozitivă și una negativă.

Această lege își datorează numele matematicianului Johann Carl Friedrich Gauss care a formulat-o pe baza teoremei sale de divergență.

Legea lui Gauss pentru câmpul magnetic

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Legea lui Gauss pentru câmpul magnetic

Această lege nu are un nume specific, dar se numește așa datorită asemănării sale cu ecuația anterioară. Sensul acestei expresii este că nu există nicio „sarcină magnetică” analogă cu „sarcina electrică”, adică nu există monopol magnetici care să fie sursa câmpului magnetic. Acesta este motivul pentru care dacă spargem un magnet în jumătate vom avea totuși doi magneți similari, ambii cu pol nord și pol sud.

Legea lui Faraday

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Legea inducției lui Faraday

Aceasta este celebra lege a inducției formulată de Faraday când în 1831 a descoperit că câmpurile magnetice în schimbare erau capabile să inducă curenți electrici. Ceea ce înseamnă această ecuație este că un câmp magnetic care se modifică în timp este capabil să inducă în jurul lui un câmp electric, care la rândul său poate determina mișcarea sarcinilor electrice și poate crea a curent. Deși acest lucru poate suna foarte abstract la început, legea lui Faraday se află în spatele funcționării motoarelor, chitarelor electrice și plitelor cu inducție.

Legea Ampère-Maxwell

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Primul lucru pe care ni-l spune această ecuație este că curenții electrici generează câmpuri magnetice în jurul direcției curentului și că magnitudinea câmpului magnetic generat depinde de mărimea acestuia, asta a observat Oersted și că mai târziu Ampère a putut să formula. Cu toate acestea, există ceva curios în spatele acestei ecuații, și anume că al doilea termen de pe partea lege a ecuației a fost introdusă de Maxwell deoarece această expresie a fost inițial inconsecventă cu celelalte, în special, a dus la încălcarea legii conservării sarcinii electrice. Pentru a evita acest lucru, Maxwell a introdus pur și simplu acest al doilea termen, astfel încât întreaga sa teorie să fie consecventă, acest termen a primit denumirea de „curent de deplasare” și la momentul respectiv nu existau dovezi experimentale care să o susțină. va face backup

Ilustrația 2. De Rumruay.- Un curent electric care circulă printr-un cablu generează un câmp magnetic în jurul acestuia conform Legii lui Ampère.

Sensul curentului de deplasare este că, la fel ca un câmp magnetic variabila induce un câmp electric, un câmp electric care se modifică în timp este capabil să genereze un câmp magnetic. Prima confirmare experimentală a curentului de deplasare a fost demonstrarea existenței unde electromagnetice de Heinrich Hertz în 1887, la mai bine de 20 de ani după publicarea teoriei Maxwell. Cu toate acestea, prima măsurare directă a curentului de deplasare a fost făcută de M. R. Van Cauwenberghe în 1929.

lumina este o undă electromagnetică

Una dintre primele predicții uluitoare făcute de ecuațiile lui Maxwell este existența lui undele electromagnetice, dar nu numai atât, au dezvăluit și că lumina trebuie să fie o undă din aceasta Tip. Pentru a vedea acest lucru oarecum, ne vom juca cu ecuațiile lui Maxwell, dar înainte de asta, iată forma oricărei ecuații de undă:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Forma generală a unei ecuații de undă în trei dimensiuni.

Unde \({{\nabla }^{2}}\) este operatorul laplacian, \(u\) este o funcție de undă și \(v\) este viteza undei. De asemenea, vom lucra cu ecuațiile lui Maxwell în spațiul gol, adică în absența sarcinilor electrice și a curenților electrici, doar câmpuri electrice și magnetice:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Și vom folosi și următoarele identitate calcul vectorial:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Dacă aplicăm această identitate câmpurilor electrice și magnetice folosind ecuațiile lui Maxwell pentru spațiul gol de mai sus, obținem următoarele rezultate:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Observați asemănarea acestor ecuații cu ecuația de undă de mai sus, în concluzie, câmpurile electrice și magnetice se pot comporta ca unde (unde electromagnetice). Dacă definim viteza acestor unde ca \(c\) și comparăm aceste ecuații cu ecuația de mai sus, putem spune că viteza este:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) și \({{\epsilon }_{0}}\) sunt permeabilitatea magnetică și, respectiv, permisivitatea electrică a vidului și ambele sunt constante universale ale căror valori sunt \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) și \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), înlocuind aceste valori, avem că valoarea lui \(c\) este \(c=299.792.458\frac{m}{s}\aproximativ 300.000~km/s\), care este exact viteza ușoară.

Cu această mică analiză putem obține trei concluzii foarte importante:

1) Câmpurile electrice și magnetice se pot comporta ca undele, adică există unde electromagnetice care sunt, de asemenea, capabile să se propage prin vid.

2) Lumina este o undă electromagnetică a cărei viteză depinde de permeabilitatea și permisivitatea magnetică a mediului prin care se propaga, in spatiul gol lumina are o viteza de aproximativ 300.000 km/s.

3) Deoarece permeabilitatea magnetică și permitivitatea electrică sunt constante universale, atunci viteza luminii este, de asemenea, o constantă universală, dar acest lucru implică și faptul că valoarea ei nu depinde de cadru din care se măsoară.

Această ultimă afirmație a fost foarte controversată la acea vreme.Cum este posibil ca viteza de lumina este aceeași indiferent de mișcarea persoanei care o măsoară și de mișcarea sursei de lumină. ușoară? Viteza a ceva trebuie să fie relativă, nu? Ei bine, acesta a fost o cotitură pentru fizica vremii și acest fapt simplu, dar profund, a condus la dezvoltarea Teoriei Relativității Speciale de Albert Einstein în 1905.