Ce este ecuația lui Dirac și cum este definită?

Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984) a propus la sfârșitul anului 1928 una dintre ecuațiile cu cea mai mare importanță și implicații în fizica epocii actuale și asta pentru că unifică principiile mecanicii cuantice cu cele ale relativitatea.

Citat (APA)

Evelyn Maitee Marin | aug. 2022
Inginer industrial, MSc în fizică și EdD

Această ecuație poate fi exprimată în mai multe moduri, cea mai compactă și simplificată fiind cea considerată una dintre cele mai estetice ecuații din știință:

\(\left({i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Unde:
i: unitate imaginară
m: masa în repaus a electronului
ħ: constanta redusă a lui Planck
c: viteză a luminii
: operator de însumare a derivatelor parţiale
: funcţia de undă matematică a electronului

Valoarea absolută a pătratului funcției de undă reprezintă probabilitate pentru a găsi particula într-o anumită poziție, având în vedere ea Energie, viteza, printre alți parametri, precum și a acestuia evoluţie in timp. Cu alte cuvinte, ecuația lui Paul Dirac folosește matrici care acționează asupra vectorilor și reprezintă o evoluție a ecuației Schrödinger în fizica cuantică relativistă.

Ecuația lui Dirac a fost folosită inițial pentru a descrie comportamentul unui electron lipsit de interacțiune, deși aplicabilitatea sa se extinde la Descriere de particule subatomice atunci când se deplasează cu viteze apropiate de viteza luminii. Dirac a reușit să explice la scară subatomică comportamentul dublu al undei și particulei, care era deja cunoscut la acea vreme, deoarece a luat în considerare proprietățile particulelor, cum ar fi momentul unghiular. intrinsec sau spin.

O altă contribuție semnificativă a ecuației Dirac este predicția antimateriei, a cărei existență a fost demonstrată mai târziu (în 1932) de Carl D. Anderson folosind o cameră cu nori cu care a identificat pozitronul. De asemenea, explică în mare măsură structura fină identificată în liniile spectrale atomice.

Imaginea prezintă celebra fotografie făcută în timpul conferinței „Fotoni și electroni” din 1927, unde sunt înfățișați unii dintre cei mai remarcabili oameni de știință din istorie. În circumferința cerească se află Paul Dirac.

Fundalul ecuației Dirac

Pentru a înțelege considerentele luate de Dirac în dezvoltarea ecuației sale, precum și a bazele pe care s-a bazat abordarea lui, este important să cunoaștem teoriile anterioare lui model.

În primul rând, există celebra ecuație Schrödinger a mecanicii cuantice, publicată în 1925, care convertește cantitățile în operatori cuantici. Această ecuație folosește funcția de undă (), luând ca punct de plecare ecuația clasică a energia E = p2/2m și încorporează regulile de cuantizare atât pentru impuls (p) cât și pentru energie (ȘI):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\stânga({r, t}\dreapta)} \dreapta]\stânga({r, t} \dreapta)\)

Derivata parțială /t exprimă evoluția sistemului în funcție de timp. Primul termen din paranteza pătrată se referă la Energie kinetică (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), în timp ce al doilea termen se referă la energie potențială.

Notă: în teoria relativității a lui Einstein, variabilele spațiului și timpului trebuie să intre în mod egal în ecuații, ceea ce nu este cazul în ecuația Schrödinger, în care timpul apare ca o derivată și poziția ca o derivata a doua.

Acum, de secole, oamenii de știință au încercat să găsească un model de fizică care să unifice diferitele teorii, iar în cazul Ecuația lui Schrödinger, ia în considerare masa (m) și sarcina electronului, dar nu ia în considerare efectele relativiste care se manifestă la viteze. Din acest motiv, în 1926, oamenii de știință Oskar Klein și Walter Gordon au propus o ecuație care ține cont de principiile relativității:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Problema cu ecuația Klein-Gordon este că se bazează pe cea a lui Einstein, în care energia este la pătrat, deci această ecuație (Klein-Gordon) încorporează o derivată pătrată în raport cu timp, ceea ce înseamnă că are două soluții, permițând valori negative ale timpului, iar acest lucru nu are sens fizic. La fel, are inconvenientul de a genera valori de probabilitate mai mici de zero ca soluții.

Încercând să rezolve inconsecvențele implicate de soluțiile negative de anumite mărimi care nu susțin aceste rezultate, Paul Dirac a pornit de la ecuația Klein-Gordon la liniarizează-l, iar în această procedură, el a introdus doi parametri sub formă de matrici de dimensiunea 4, cunoscuți ca matrici Dirac sau și Pauli, și care sunt o reprezentare a algebrei a învârti. Acești parametri sunt notați cu  și ` (în ecuația energiei, ei sunt reprezentați ca E = pc + mc2):

Prin ceea ce este egalitate este îndeplinită, condiția este ca ´2 = m2c4

În general, regulile de cuantizare conduc la operații cu derivate care se aplică funcțiilor de undă scalare, totuși, ca parametrii α și β sunt matrici 4x4, operatorii diferențiali intervin asupra unui vector cu patru dimensiuni (), cunoscut sub numele de spinor.

Ecuația lui Dirac rezolvă problema energiei negative prezentată de ecuația Klein-Gordon, dar încă apare o soluție de energie negativă; adică particule cu proprietăți similare cu cele ale celeilalte soluții, dar cu sarcină opusă, Dirac a numit-o antiparticule. În plus, cu ecuația lui Dirac, se arată că spinul este rezultatul aplicării proprietăților relativiste lumii cuantice.