Ce este Ierarhia Operațiunilor?

Ierarhia operațiilor este o convenție matematică care stabilește ordinea în care acțiunile de calcul combinate trebuie efectuate în aceeași afirmație matematică, adică atunci când există o declarație matematică în care există operații matematice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, puteri și rădăcini) combinate, acestea trebuie făcute într-o anumită ordine pentru a ajunge la un rezultat uzual.

Dar de ce este nevoie de o ierarhie? Pentru a-i răspunde, trebuie mai întâi să înțelegem bine natura operațiilor matematice, care constă într-o transformare care se aplică elementelor unei mulțimi. Să ne gândim, de exemplu, la mulțimea numerelor reale, adică la acele numere pe care le cunoaștem cu toții. Dacă luăm un număr a și îl adunăm cu un alt număr b vom obține un alt număr c care aparține aceleiași mulțimi de numere reale, adică:

a+b = c

În plus, ordinea în care sunt prezentați aditivii nu afectează rezultatul final, adică a+b = b+a, această proprietate se numește comutativitate. Este important să vorbim despre adunare deoarece este operația de bază din care derivă toate celelalte. O înmulțire nu este altceva decât o serie de adunări repetate. Dacă avem din nou un număr a și îl înmulțim cu un număr b, ceea ce facem este să adunăm uneori numărul b cu el însuși sau, alternativ, să adunăm b ori numărul a cu el însuși. Acesta din urmă este așa, deoarece înmulțirea este comutativă ca și adunarea, aceasta implică faptul că:

a⋅b = b⋅a. Cele menționate mai sus pot fi exprimate astfel:

Putem vizualiza cu ușurință acest lucru cu un exemplu. Să facem înmulțirea 5×2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Acum, ce se întâmplă dacă trebuie să facem o operație în care am combinat adunarea cu înmulțirea? De exemplu: a⋅b+c. Care este ordinea în care trebuie efectuate adunarea și înmulțirea? Cărei operații trebuie să dăm preferință? Dacă facem mai întâi înmulțirea și o dezvoltăm ca sumă, am avea:

Acum, dacă am efectua mai întâi adunarea și apoi înmulțirea, am obține:

Deoarece adăugarea este comutativă, putem regrupa partea dreaptă a ecuației pentru a obține:

Comparând rezultatele obținute în ambele situații este ușor de realizat că:

Concluzionam atunci ca ordinea in care se decide efectuarea operatiunilor afecteaza rezultatul obtinut. La fel se întâmplă și când implicăm puteri. Când ridicăm un număr b la o putere c, ceea ce facem este să înmulțim c ori numărul b cu el însuși, adică:

Acum procedăm la efectuarea următoarei operații combinate care implică înmulțirea și puterea a⋅b^c într-o ordine diferită ca în cazul precedent. Dacă acordăm mai întâi prioritate puterii avem:

Acum, dacă facem mai întâi înmulțirea și apoi puterea, am avea:

Profitând de comutativitatea înmulțirii, putem regrupa partea dreaptă a ecuației astfel:

Din nou, putem compara rezultatele obținute prin efectuarea operațiilor într-o ordine diferită pentru a realiza că:

Tot in acest caz ordinea in care sunt efectuate operatiile afecteaza rezultatul obtinut. Deci, care este ordinea în care trebuie efectuate operațiunile? Ierarhia operațiilor stabilește că puterile sunt la un nivel de ierarhie mai înalt decât înmulțirile, în așa fel încât puterile să aibă prioritate într-un enunț matematic. La rândul lor, înmulțirile au un nivel de ierarhie mai ridicat decât adunările.

Dar cum rămâne cu scăderea, împărțirea și rădăcinile? Scăderea este operația opusă adunării, când scădem un număr b dintr-un număr a obținem un alt număr c astfel încât c+b=a. Ceva similar se întâmplă cu împărțirea și scăderea. Dacă împărțim un număr a la un număr b și obținem ca rezultat un număr c, am găsit un număr astfel încât b⋅c=a. Și în final, calculând rădăcina b a unui număr a găsim un număr c astfel încât c^b=a. Aceste echivalențe pun scăderea, împărțirea și rădăcina la același nivel ierarhic ca adunarea, înmulțirea și, respectiv, puterea.

Practici pentru paranteze și paranteze

Acum, ce se întâmplă dacă vrem să acordăm prioritate unor operații dintr-un enunț matematic indiferent de nivelul lor ierarhic? Pentru a face acest lucru, se folosesc paranteze și paranteze pătrate. Să presupunem că avem enunțul principiului a⋅b+c. Cu ceea ce am spus mai înainte știm deja că trebuie să facem mai întâi înmulțirea și apoi adunarea. Dar dacă am vrea să nu fie așa? Pentru a face acest lucru, ar trebui să folosim paranteze sau paranteze pătrate pentru a separa adunarea de înmulțire și astfel să acordăm prioritate calculării adunării mai întâi, adică: a⋅(b+c). Acest lucru face ca instrucțiunile separate prin paranteze și paranteze drepte să aibă cea mai mare prioritate față de toate celelalte operațiuni.

Cu tot ce s-a spus mai sus, ierarhia operațiunilor, sau ordinea în care acestea trebuie efectuate, este următoarea:

1) Paranteze și paranteze
2) Puteri și rădăcini
3) Înmulțiri și împărțiri
4) Adunarea și scăderea

Referințe

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Fundamentele matematicii: volumul I. Cambridge, Massachusetts și Londra: The MIT Press.