Definiția funcției cuadratice

O funcție pătratică a unei variabile reale a cărei formă este exprimată.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Unde variabila este \(x\), \(a, b\) și c sunt constante reale, numite coeficienți ai funcției pătratice cu \(a \ne 0.\)

Tabelul prezintă exemple generale de funcții pătratice și situația pe care acestea o pot modela, pentru a ilustra ulterior aplicarea lor directă din probleme reale.

Funcția pătratică	Situație pe care o poți modela
\(f\left(x \right) = {x^2}\)	Variabila \(y\) este aria unui pătrat a cărui latură măsoară \(x\).
\(f\left(x \right) = \pi {x^2}\)	Variabila \(y\) este aria unui cerc a cărui rază este \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4,9{x^2}\)	Variabila \(y\) este înălțimea unui obiect care a fost aruncat la o înălțime de 100 și \(x\) este timpul scurs.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Variabila \(y\) este înălțimea unei ghiulele aruncate la un unghi de 45° cu o viteză de 60 m/s și \(x\) este timpul scurs.

Formula generală și funcția pătratică

Dacă pentru \(x = \alpha \) funcția pătratică este zero, atunci numărul este \(\alpha \) se numește rădăcina funcției pătratice, da, \(\alpha \) este soluția ecuației pătratice

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Formula generală de rezolvare a ecuațiilor pătratice avem că rădăcinile unei funcții pătratice sunt:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Din cele de mai sus se stabilește următoarea relație între rădăcini și coeficienții funcției pătratice:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Prin produse notabile se stabilește următoarea identitate:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

În mod similar celui stabilit în formula generală, se stabilește că funcția pătratică poate fi exprimată sub forma:

\(f\left(x \right) = a{\left({x – h} \right)^2} + k\)

Cu \(h = – \frac{b}{{2a}}\) și \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Rezolvând ecuația:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Este obținut:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Din cele de mai sus se poate concluziona că \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), numai dacă constantele \(k\) și \(a\) sunt din semne opuse, această funcție pătratică are rădăcini reale, care sunt: ​​\(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Dacă constantele \(k\) și \(a\) au același semn, atunci funcția pătratică nu are rădăcini reale.

Când \(k = 0,\;\;\)funcția pătratică are o singură rădăcină.

Exemple aplicate vieții reale

Exemplul de aplicare 1: Economie

O școală dorește să organizeze un turneu de fotbal în care fiecare echipă joacă o singură dată cu fiecare dintre celelalte echipe. Există un buget de 15.600 USD pentru costul arbitrajului, dacă costul arbitrajului este de 200 USD per joc. Câte echipe se pot înscrie la turneu?

Enunțul problemei: Trebuie să găsim o funcție care calculează numărul de potriviri atunci când avem \(n\) echipe pentru a le număra vom presupune că echipa 1 joacă prima cu toate celelalte, adică \(n – 1\) chibrituri. Echipa 2 ar juca acum cu toți restul, adică cu \(n – 2\), deoarece va fi jucat deja cu echipa 1. Echipa 3 va fi jucat deja cu echipele 1 și 2, așa că ar trebui să joace cu echipe n-3.

Cu raționamentul de mai sus ajungem la:

\(f\left(n \dreapta) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left(n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Funcția de cost este:

\(C\left(n\dreapta) = 200f\left(n\right) = 100n\left({n – 1} \right)\)

Având un buget de 15.600 USD, avem ecuația:

\(100n\stanga({n – 1} \dreapta) = 15600\)

rezolvarea ecuației

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Situația inițială
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Împărțiți fiecare parte a ecuației la 100
\({n^2} – n – 156 = \) Adăugați \( – 156\) la fiecare parte a ecuației
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Avem \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right) ) = – 156\) și \( – 13 + 12 = – 1\)
A fost factorizat.
Rezolvarea ecuației \(n = – 12,\;13\)
Răspuns: Bugetul este suficient pentru a se înscrie 13 echipe.

Exemplul de aplicare 2: Economie

O companie de autobuze de transport metropolitan a observat că, într-o zi de opt ore, fiecare dintre autobuzele sale transportă în medie o mie de pasageri. Pentru a fi în măsură să acordați angajaților o mărire de salariu, va trebui să vă măriți tariful, care este în prezent de 5 USD; Un economist calculează că, pentru fiecare peso care crește tariful, fiecare camion va pierde în medie 40 de pasageri în fiecare zi. Compania a calculat că, pentru a acoperi creșterea salariului, trebuie să obțină în plus 760 USD pe camion în fiecare zi. Cât trebuie să crească tariful?

Enunțul problemei: Fie \(x\) suma de peso în care va crește biletul, pentru care \(5 + x\) este noul cost al biletului. Cu aceeași creștere, fiecare camion va transporta \(1000 – 40x\) pasageri pe zi, în medie.

În cele din urmă, venitul pe camion este:

\(I\left(x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \dreapta)\)

Pentru a acoperi creșterea salarială, fiecare autobuz trebuie să încaseze: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

În sfârșit avem ecuația:

\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\)

rezolvarea ecuației
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Situația inițială
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Împărțiți la \( – 40\) fiecare parte a ecuației
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Produsul remarcabil a fost dezvoltat
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 au fost adăugate la fiecare
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Avem \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ dreapta) = 19\) și \( – 19 – 1 = – 20\)
factorizat
Rezolvarea ecuației \(n = 1,19\)
Răspuns: Prețul biletului poate crește cu 1 USD sau 19 USD.

Exemplul de aplicare 3: Economie

Un magazin de pâine vinde în medie 1.200 de chifle pe săptămână pentru 6 dolari fiecare. Într-o zi a decis să ridice prețul la 9 dolari bucata; acum vânzările ei au scăzut: ea vinde doar în medie 750 de rulouri pe săptămână. Care ar trebui să fie prețul fiecărei chifle pentru ca veniturile de la outlet să fie cât mai mari? Să presupunem că există o relație liniară între cerere și preț.

Enunțul problemei: Presupunând că există o relație liniară între cerere D și preț \(x,\) atunci

\(D = mx + b\)

Când \(x = 6;D = 1200;\;\) care generează ecuația:

\(1200 = 6m + b\)

Când \(x = 9;D = 750;\;\) lo și se obține ecuația:

\(750 = 9m + b\)

Rezolvând sistemul de ecuații, relația dintre cerere și preț este:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\left( {x – 14} \right)\)

Venitul este egal cu

\(I\left( x \right) = Dx = – 150x\left( {x – 14} \right)\)

Soluţie

Graficul venitului într-o parabolă care se deschide în jos și valoarea sa maximă este atinsă la vârful pe care poate fi găsit prin medierea rădăcinilor funcției pătratice care modelează sursa de venit. Rădăcinile sunt \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left(h\dreapta) = – 150\left( 7 \right)\left({7 – 14} \right) = 7350\)

Răspuns

Venitul maxim este de 7.350 USD și se realizează cu un preț de 7 USD; vânzând, în medie, 1050 de role pe săptămână.

Exemplul de aplicare 4: Economie

Costul de fabricare a \(n\) scaune într-o zi poate fi calculat cu funcția pătratică:

\(C\left(n \dreapta) = {n^2} – 200n + 13000\)

Determinați costul minim care poate fi atins.

Declarație problemă

Graficul lui \(C\left( n \right)\) este o parabolă care se deschide în sus și își va atinge punctul minim la \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ stânga( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left({100} \right) = {\left({100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Răspuns

Cel mai mic cost posibil este egal cu 3000 USD și se realizează prin fabricarea a 100 de scaune.

Exemplul de aplicare 5: Geometrie

Un romb are o suprafață de 21 cm2; Dacă suma lungimilor diagonalelor sale este de 17 cm, care este lungimea fiecărei diagonale a rombului?

Enunțul problemei: aria unui romb se calculează cu:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Cu \(D\) și \(d\) lungimile diagonalelor sale, se mai știe:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Prin înlocuire obțineți:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

În sfârșit obținem ecuația

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Soluţie
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Situația inițială
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Înmulțiți cu \( – 40\) fiecare parte a ecuației
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produsul a fost dezvoltat.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Avem \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ dreapta) = 42\) și \( – 14 – 3 = – 17\)
factorizat
Rezolvarea ecuației \(d = 3,14\)
Răspuns:

Diagonalele rombului măsoară 14 cm și 3 cm.

Exemplul de aplicare 6: Geometrie

Se doreste construirea unui cotet dreptunghiular de 140 m2, profitand de un gard destul de lung care va forma fundul cotetului. Celelalte trei laturi vor fi construite cu 34 de metri liniari de plasă de sârmă, cât ar trebui să fie lungimea și lățimea coșului de găini pentru a folosi ochiul total?

În aceleași condiții, care este suprafața maximă care poate fi împrejmuită cu aceeași plasă?

Enunțul problemei: Conform diagramei, aria este egală cu:

\(A\left(x\right) = x\left({34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

Unde \(x\) este lungimea laturii perpendiculare pe gard.

Pentru a cunoaște măsurătorile dreptunghiului astfel încât să aibă o suprafață de 140 m2, este suficient să rezolvi ecuația

\(2x\left( {17 – x} \right) = 140\)

Deoarece graficul lui \(A\left( x \right)\) este o parabolă care se deschide în jos pentru a calcula valoarea maximă a ariei, este suficient să calculați vârful parabolei.

Răspunsuri
Măsurile dreptunghiului cu suprafața 140 m2
Lungimea laturii perpendiculară pe gard

\(x\) Lungimea laturii paralele cu gardul

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Prima coordonată a vârfului este \(h = \frac{{17}}{2}\) și

\(A\left(h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Aria este maximă când latura perpendiculară măsoară \(\frac{{17}}{2}\;\)m iar latura paralelă măsoară 17m, măsoară 17m, valoarea ariei maxime atinse este \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graficul unei funcții pătratice

Din punct de vedere geometric, rădăcinile sunt punctele în care graficul unei funcții intersectează axa \(x\).

Din expresie

\(f\left(x \right) = a{\left({x – h} \right)^2} + k,\)

Vom stabili forma generală a graficului unei funcții pătratice.

Primul caz \(a > 0\) și \(k > 0\)

\(f\left(x \right) = a{\left({x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\stânga(x\dreapta)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

În acest caz, graficul satisface:

Simetric: Cu axa de simetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Adică \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \dreapta)\)

Este deasupra axei \(x\) și nu o intersectează. Adică, \(f\left( x \right) > 0\) nu are rădăcini reale.

Cel mai de jos punct al graficului este în punctul \(\left({h, k} \right)\). Adică \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Al doilea caz \(a < 0\) și \(k < 0\)

\(f\left(x \right) = a{\left({x – h} \right)^2} + k\)

\(X\)	\(f\stânga(x\dreapta)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

În acest caz, graficul satisface:

Simetric: Cu axa de simetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Adică \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \dreapta)\)

Este sub axa \(x\) și nu o intersectează. Adică, \(f\left( x \right) < 0\) nu are rădăcini reale. Cel mai înalt punct al graficului este în punctul \(\left({h, k} \right)\). Adică \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Al treilea caz \(a > 0\) și \(k \le 0\).

Acest caz este similar cu primul caz, diferența este că acum avem o rădăcină reală (când \(k = 0\) ) sau două rădăcini reale.

În acest caz, graficul satisface:

Simetric: Cu axa de simetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Adică \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \dreapta)\)

Intersectează axa \(x\), adică are cel puțin o rădăcină reală.

Cel mai de jos punct al graficului este în punctul \(\left({h, k} \right)\). Adică \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Al patrulea caz \(a < 0\) și \(k \ge 0\). Acest caz este similar cu cel de-al doilea caz, diferența este că acum avem o rădăcină reală (când \(k = 0\) ) sau două rădăcini reale. În acest caz, graficul satisface:

Simetric: Cu axa de simetrie \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Adică \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \dreapta)\)

Cel mai de jos punct al graficului este în punctul \(\left({h, k} \right)\). Adică \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

Graficul unei funcții pătratice se numește parabolă și elementele sale de evidențiat sunt axa de simetrie, punctele în care se intersectează la axa \(x\) și la vârf, care este punctul de pe graficul funcției unde atinge punctul cel mai de jos sau cel mai înalt, în funcție de caz.

Pe baza analizei efectuate putem afirma:

Parabola asociată cu funcția pătratică \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) își are vârful la \(\left( {h, k} \right)\) unde :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \dreapta)\)

exemple

Funcția pătratică \(y = {x^2}\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\stanga({0,0} \dreapta)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = 0\)
Interceptări cu axa \(x\).	\(\stanga({0,0} \dreapta)\)

Funcția pătratică \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\stanga({2,0} \dreapta)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = 2\)
Interceptări cu axa \(x\).	\(\stanga({2,0} \dreapta)\)

Funcția pătratică \(y = {\left({x + 2} \right)^2} – 4\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\stanga( { – 2, – 4} \dreapta)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = – 2\)
Interceptări cu axa \(x\).	\(\left({ – 4,0} \right);\left({0,0} \right)\)

Funcția pătratică \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\stanga({9,8} \dreapta)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = 9\)
Interceptări cu axa \(x\).	\(\left({5,0} \right);\left({13,0} \right)\)

Funcția pătratică \(y = {x^2} + 1\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\stanga({0,1} \dreapta)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = 0\)
Interceptări cu axa \(x\).	Nu are

Funcția pătratică \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\stanga({2, – 1} \dreapta)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = 2\)
Interceptări cu axa \(x\).	Nu are

Dacă rădăcinile reale ale unei funcții pătratice există, putem reprezenta grafic parabola asociată din ele. Să presupunem că \(f\left(x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Pentru aceasta, trebuie avute în vedere următoarele:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

La fel de

\(k = f\stânga(h\dreapta)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \dreapta)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

exemple

Schițați graficul funcției pătratice \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Soluţie

Rădăcinile sunt \(\alpha = 3\;\) și \(\beta = – 6\); apoi \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Deci putem construi următorul tabel

\(f\left(x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	elemente importante
Vârful parabolei	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{{81}}{2}} \right)\)
Axa de simetrie a parabolei	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Interceptări cu axa \(x\).	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Pentru a schița graficul funcției:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Vom folosi aceleași idei pe care le-am folosit deja; Pentru aceasta vom determina mai întâi vârful.

În acest caz, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Deoarece \(a > 0\), parabola „se va deschide și \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) În continuare vom calcula \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Vârful parabolei este la \(\left( {3, – 23} \right)\) și deoarece se deschide în sus, atunci parabola va intersecta axa \(x\;\), iar axa ei de simetrie este \ (x = 3\).

Acum să luăm în considerare funcția pătratică

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

În acest caz, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Deoarece \(a < 0\), parabola se va „deschide” în jos și \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A În continuare vom calcula \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ dreapta) - 9 = - 4\) Vârful lui parabola este la \(\left( {1, - 4} \right)\) și deoarece se deschide în jos, atunci parabola nu va intersecta axa \(x\;\), iar axa ei de simetrie este \(x = 1.\)