Definiția progresiei geometrice

O succesiune de numere \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Se numeste progresie geometrica daca, incepand din a doua, fiecare element se obtine din inmultirea celui precedent cu un numar \(r\ne 0\), adica daca:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Unde:
- Numărul \(r\) se numește raportul progresiei geometrice.
- Elementul \({{a}_{1}}\) se numește primul element al progresiei aritmetice.

Elementele progresiei geometrice pot fi exprimate în termeni de primul element și raportul acestuia, adică:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Ele sunt primele patru elemente ale progresiei aritmetice; în general, elementul \(k-\)-lea este exprimat astfel:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Când \({{a}_{1}}\ne 0,~\)din expresia anterioară obținem:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Expresia de mai sus este echivalentă cu:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Exemplu/exercițiu 1. Găsiți diferența progresiei aritmetice: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​și găsiți elementele \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Soluţie

Deoarece \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) putem concluziona că raportul este:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Exemplu/exercițiu 2. Într-o progresie aritmetică avem: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), se determină raportul progresiei geometrice și se scrie primele 5 elemente.

Soluţie

Purtare

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Pentru a afla primele 5 elemente ale progresiei aritmetice; vom calcula \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left(r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left(-4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Primele 5 elemente ale progresiei geometrice sunt:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left(-4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left(-4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Exemplu/exercițiu 3. O sticlă subțire absoarbe 2% din lumina soarelui care trece prin el.

la. Ce procent de lumină va trece prin 10 dintre acele pahare subțiri?

b. Ce procent de lumină va trece prin 20 dintre acele pahare subțiri?

c. Determinați procentul de lumină care trece prin \(n\) pahare subțiri cu aceleași caracteristici, așezate consecutiv.

Soluţie

Vom reprezenta cu 1 lumina totală; prin absorbția a 2% din lumină, apoi 98% din lumină trece prin sticlă.

Vom reprezenta cu \({{a}_{n}}\) procentul de lumină care trece prin sticlă \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left (0,98 \right),\)

În general \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

la. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); care ne spune că după sticla 10 trece 81,707% din lumină

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); care ne spune că după sticla 20 trece 66,761%

Suma primelor \(n\) elemente ale unei progresii geometrice

Având în vedere progresia geometrică \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Când \(r\ne 1\) este suma primelor \(n\) elemente, suma:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Se poate calcula cu

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Exemplu/exercițiu 4. Din exemplul 2 calculați \({{S}_{33}}\).

Soluţie

În acest caz, \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) și \(r=-4\)

punerea în aplicare

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left(-4 \right)}^{22}}} {1-\stânga(-4 \dreapta)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left(-4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Exemplu/exercițiu 5. Să presupunem că o persoană încarcă o fotografie a animalului său de companie și o partajează cu 3 dintre prietenii săi pe o rețea de socializare de pe internet și, într-o oră, fiecare dintre ei, împărtășește fotografia cu alte trei persoane și apoi aceștia din urmă, în încă o oră, fiecare dintre ei împărtășește fotografia cu alți 3 oameni; Și așa continuă; fiecare persoană care primește fotografia o împărtășește cu alte 3 persoane în decurs de o oră. În 15 ore, câți oameni au deja fotografia?

Soluţie

Următorul tabel prezintă primele calcule
Timp Persoane care primesc fotografia Persoane care au fotografia
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Numărul de persoane care primesc fotografia în oră \(n\) este egal cu: \({{3}^{n}}\)

Numărul de persoane care au deja fotografia în oră este egal cu:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

punerea în aplicare

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Cu \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) și \(n=15\)

prin care:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

mijloace geometrice

Dat fiind două numere \(a~\) și \(b,\), numerele \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) se numesc \(k\) mijloace geometrice ale numerelor \(a~\) si \(b\); dacă șirul \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) este o progresie geometrică.

Pentru a cunoaște valorile mediilor geometrice \(k\) ale numerelor \(a~\) și \(b\), este suficient să cunoașteți raportul progresiei aritmetice, pentru aceasta trebuie luate în considerare următoarele:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Din cele de mai sus stabilim relația:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Rezolvând pentru \(d\), obținem:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Exemplu/exercițiu 6. Găsiți 2 medii geometrice între numerele -15 și 1875.

Soluţie

La aplicare

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

cu \(b=375,~a=-15\) și \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Cele 3 mijloace geometrice sunt:

\(75,-375\)

Exemplu/exercițiu 7. O persoană a investit bani și a primit dobândă în fiecare lună timp de 6 luni, iar capitalul său a crescut cu 10%. Presupunând că rata nu s-a schimbat, care a fost rata lunară a dobânzii?

Soluţie

Fie \(C\) capitalul investit; capitalul final este \(1.1C\); Pentru a rezolva problema trebuie să plasăm 5 mijloace geometrice, prin aplicarea formulei:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Cu \(k=5,~b=1,1C\) și \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Rata lunară primită a fost de \(1,6%\)