Definiția fracțiilor mixte, unitare, omogene și eterogene

Amestecat. O fracție mixtă este formată dintr-un număr întreg mai mare sau egal cu unu și o fracție proprie, ortografia generală a unei fracții mixt este de forma: \(a + \frac{c}{d},\) a cărui scriere compactă este: \(a\frac{c}{d},\;\), adică: \(a\ fracție{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Numărul \(a\) se numește partea întreagă a fracției mixte și \(\frac{c}{d}\) se numește partea sa fracțională.

omogen. Dacă două sau mai multe fracții au același numitor, se spune că sunt ca fracții. De exemplu, fracțiile \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) sunt omogene deoarece toate au același numitor, care în acest caz este \(4\). În timp ce fracțiile \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nu sunt fracții omogene, deoarece numitorul lui \(\frac{5}{2}\) este \(2\) și numitorul celorlalte fracții este \(4\). Unul dintre avantajele fracțiilor omogene este că operațiile aritmetice de adunare și scădere a funcțiilor sunt foarte simple.

eterogen. Dacă două sau mai multe fracții, cel puțin două dintre ele nu au același numitor, atunci se spune că aceste fracții sunt fracții eterogene. Următoarele fracții sunt eterogene: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

unitar. O fracție este identificată ca unitate dacă numărătorul este egal cu 1 \(1,\) \(2\). Următoarele fracții sunt exemple de fracții unitare: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Exprimarea verbală a unei fracțiuni mixte

fracție mixtă	Exprimarea verbală
\(3\frac{1}{2} = \)	Trei și jumătate întregi
\(5\frac{3}{4} = \)	Cinci numere întregi și trei sferturi
\(10\frac{1}{8} = \)	Zece numere întregi cu o al optulea

Transformarea unei fracții mixte într-o fracție improprie

Fracțiile mixte sunt utile pentru estimare, de exemplu, este ușor de stabilit:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Cu toate acestea, fracțiile mixte sunt, de obicei, nepractice pentru a efectua operații precum înmulțirea și împărțirea, motiv pentru care este important cum se transformă într-o fracție mixtă.

Figura anterioară reprezintă fracția mixtă \(2\frac{3}{4}\), acum fiecare număr întreg este compus din patru sferturi, deci in 2 intregi sunt 8 sferturi si la acestea trebuie sa adaugam celelalte 3 sferturi, adica Spune:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{{11}}{4}\)

În general:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Următorul tabel prezintă alte exemple.

fracție mixtă	Operații de efectuat	fracție improprie
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Conversia unei fracții improprie într-o fracție mixtă

Pentru a converti o fracție improprie într-o fracție mixtă, calculați câtul și restul împărțirii numărătorului la numitor. Coeficientul obținut va fi partea întreagă a fracției mixte, iar fracția proprie va fi \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{numitorul}}}}\)

Exemplu

Pentru a converti \(\frac{{25}}{7}\) într-o fracție mixtă:

Pentru operațiunile efectuate obținem:

Tabelul de mai jos prezintă alte exemple.

fracție improprie	Calculul coeficientului și al restului	fracție improprie
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Utilizarea zilnică a fracțiilor mixte și adecvate

În viața de zi cu zi trebuie să măsurăm, să cumpărăm, să comparăm prețuri, să oferim reduceri; pentru a măsura avem nevoie de unități de măsură și nu întotdeauna oferă unități întregi de produse și nu plătești întotdeauna cu o cantitate întreagă de monede dintr-o unitate.

De exemplu, este obișnuit ca anumite lichide să fie vândute în recipiente al căror conținut este \(\frac{3}{4}\;\) de un litru, jumătate de galon sau un galon și jumătate. Poate când mergi să cumperi un tub, ceri \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) și nu trebuie să spuneți unitatea de măsură, care în acest caz este inch.

Operații de bază ale fracțiilor similare

Suma \(\frac{3}{4}\) și \(\frac{2}{4}\), este exemplificată în următoarea schemă:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

În timp ce scăderea se face după cum urmează:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

În general, pentru fracții omogene:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egiptenii și fracțiile unitare

Cultura egipteană a realizat o dezvoltare tehnologică remarcabilă și acest lucru nu s-ar fi întâmplat fără o dezvoltare de egalitate cu matematica. Există vestigii istorice în care puteți găsi înregistrări ale utilizării fracțiilor în cultura egipteană, cu o particularitate, au folosit doar fracții unitare.

Există mai multe cazuri în care scrierea unei fracții ca sumă de fracții unitare este la fel de simplă ca

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

În cazul în care \(n = 2q + 1\), adică impar, avem că:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Vom ilustra acest lucru cu două exemple.

A exprima \(\frac{2}{{11}}\); în acest caz avem \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), prin urmare:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

adică,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

A exprima \(\frac{2}{{17}}\); în acest caz avem \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

În continuare, arătăm unele fracții ca sumă de fracții unitare,

Fracțiune	Expresie ca sumă de fracții unitare	Fracțiune	Expresie ca sumă de fracții unitare
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Folosind tabelul anterior putem adăuga fracții și exprima astfel de sume; ca sumă de fracții unitare.

Exemple de fracții eterogene

Exemplul 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \dreapta)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Exemplul 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \dreapta)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

În cele din urmă, putem exprima aceeași fracție ca o sumă de fracții unitare într-un mod diferit ca:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)