Definiția Arithmetic Progression

O succesiune de numere \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​se numește progresie aritmetică dacă diferența dintre două numere consecutive este egală cu același număr \(d\), adica da:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Numărul \(d\) se numește diferența progresiei aritmetice.

Elementul \({a_1}\) se numește primul element al șirului aritmetic.

Elementele progresiei aritmetice pot fi exprimate în termeni de primul element și diferența acestuia, adică:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Ele sunt primele patru elemente ale progresiei aritmetice; În general, elementul \(k – \)-lea este exprimat astfel:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Din expresia de mai sus obținem:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \dreapta) d\)

Expresia de mai sus este echivalentă cu:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \dreapta) d\)

Exemple aplicate pentru progresia aritmetică

1. Găsiți diferența progresiei aritmetice: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​și găsiți elementele \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Soluţie

Deoarece \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) putem concluziona că diferența este:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. Într-o progresie aritmetică avem: \({a_{17}} = 20\;\)și \({a_{29}} = – 130\), determinăm diferența progresiei aritmetice și scriem primele 5 elemente.

Soluţie

Purtare

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \dreapta) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \left( {12} \right) d\)

\( – 150 = \left( {12} \right) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{{150}}{{12}} = – \frac{{{25}}{2}\)

Pentru a găsi primele 5 elemente; vom calcula \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left({16} \right)\left( { – \frac{{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Primele 5 elemente sunt:

\(220.220 + \left( { – \frac{{{25}}{2}} \right), 220 + 2\left( { – \frac{{{{25}}{2}} \right), 220 + 3 \left( { – \frac{{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{{365}}{2},170\)

Numerele poligonale și suma primelor \(n\) elemente ale unei progresii aritmetice

numere triunghiulare

Numerele triunghiulare \({T_n}\;\) se formează din progresia aritmetică: \(1,2,3,4 \ldots \); în felul următor.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

numere pătrate

Numerele pătrate \({C_n}\;\) se formează din progresia aritmetică: \(1,3,5,7 \ldots \); după cum urmează

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

numere pentagonale

Numerele pătrate \({P_n}\;\) se formează din progresia aritmetică: \(1,3,5,7 \ldots \); după cum urmează

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

În continuare, vom arăta formula pentru a găsi suma primelor \(n\) elemente ale unei progresii aritmetice.

Având în vedere progresia aritmetică, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Pentru a calcula suma \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) puteți folosi formula:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

care este echivalent cu

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Aplicând formula anterioară se obțin formulele de calcul a numerelor triunghiulare, pătrate și pentagonale; care sunt prezentate în tabelul următor.

număr poligonal	\({a_1}\)	\(d\)	Formulă
Triunghiular \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Pătrat \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Pentagonală \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Exemplu pe numere poligonale

3. Din exemplul 2 calculați \({S_{33}}\).

Soluţie

În acest caz, \({a_1} = 200\) și \(d = – \frac{{{25}}{2}\)

punerea în aplicare

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\left( {400 + 16\left( { – 25} \right)} \right) = 17\left( 0 \right) = 0\)

mijloace aritmetice

Dat fiind două numere \(a\;\) și \(b,\), numerele \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) se numesc \(k\) înseamnă numere aritmetice \(a\;\) și \(b\); dacă șirul \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) este o progresie aritmetică.

Pentru a cunoaște valorile mediilor aritmetice \(k\) ale numerelor \(a\;\) și \(b\), este suficient să cunoașteți diferența progresiei aritmetice, pentru aceasta trebuie să fie următoarele considerat:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Din cele de mai sus stabilim relația:

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \dreapta) d\)

Rezolvând pentru \(d\), obținem:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

exemple

4. Găsiți 7 medii aritmetice între numerele -5 și 25.

Soluţie

La aplicare

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

cu \(b = 25,\;a = – 5\) și \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

Cele 7 medii aritmetice sunt:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{{25}}{4},10,\frac{{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{{85}}{4}\)

9. O persoană a dat 2.000 de dolari ca avans pentru a cumpăra un frigider și a plătit restul cu cardul de credit timp de 18 luni fără dobândă. El trebuie să plătească 550 de dolari pe lună pentru a stinge datoria, pe care a achiziționat-o pentru a-și plăti frigiderul.

la. Care este costul frigiderului?

b. Dacă ați plătit restul peste 12 luni fără dobândă, cât ar fi plata lunară?

Soluţie

la. În acest caz:

\({a_{19}} = 2000 + 18\left({550} \right)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Între numerele 2000 și 11900 trebuie să găsim 11 medii aritmetice, pentru care:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Având în vedere șirul \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) găsiți următoarele 3 elemente și expresia generală a elementului \(n\).

Soluţie

Secvența în cauză nu este o progresie aritmetică, deoarece \(22 – 7 \ne 45 – 22\), dar putem forma o succesiune cu diferențele a două elemente consecutive și următorul tabel arată cele rezultate:

Elemente ale secvenței \({b_n}\)	Secvența \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

A treia coloană a tabelului de mai sus ne spune că secvența \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); este o secvență aritmetică a cărei diferență este \(d = 8\).

În continuare, vom scrie elementele șirului \({b_n}\) în termeni ai secvenței \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

In general aveti:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

La aplicare

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Cu \({c_1} = 7\) și \(d = 8,\) obținem:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\stânga( {7 + 4\stânga( {n – 1} \dreapta)} \dreapta)\)

\({b_n} = n\stânga( {4n + 3} \dreapta)\)

Prin aplicarea formulei anterioare: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)