Cum este definită teorema lui Thales?

Din teorema lui Thales, având în vedere mai multe drepte paralele, se spune că dreapta \(T\) este transversală dreptelor paralele dacă intersectează fiecare dintre drepte paralele.

În figura 1, dreptele \({T_1}\) și \({T_2}\) sunt transversale dreptelor paralele \({L_1}\) și \({L_2}\)

Teorema lui Thales (versiunea slabă)
Dacă mai multe paralele determină segmente congruente (care măsoară la fel) într-una dintre cele două linii transversale ale lor, ele vor determina și segmente congruente în celelalte transversale.

În figura 2, liniile negre sunt paralele și trebuie să:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Putem asigura următoarele:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Se spune că înțeleptul Thales din Milet a măsurat înălțimea piramidei lui Keops, pentru aceasta a folosit umbre și aplicarea proprietăților de asemănare a triunghiului. Teorema lui Thales este fundamentală pentru dezvoltarea conceptului de similitudine a triunghiurilor.

Raporturi și proprietăți ale proporțiilor

Un raport este câtul a două numere, cu divizorul altul decât zero; adica:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{cu\;}}b \ne 0\)

O proporție este egalitatea a două rapoarte, adică:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) se mai numește și constanta de proporționalitate.

Proprietăți ale proporțiilor

Dacă \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) atunci pentru \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

exemple

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{{40}} = \frac{{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{{40}} = \frac{{{{15 – 9}}{{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Se spune că perechea de segmente \(\overline {AB} \) și \(\overline {CD} \) este proporțională cu segmentele \(\overline {EF} \) și \(\overline {GH} \) dacă proporția este îndeplinită:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Unde \(AB\;\) denotă lungimea segmentului \(\overline {AB} .\)

teorema lui Thales

Revenind la definiție, mai multe paralele determină segmente corespunzătoare proporționale în liniile lor transversale.

În figura 3, liniile drepte sunt paralele și ne putem asigura:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Să observăm că primele două proporții anterioare sunt echivalente cu următoarele proporții:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Din mai sus primim:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

De multe ori este mai bine să lucrați cu proporțiile anterioare și în acest caz:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Conversarea teoremei lui Thales

Dacă mai multe drepte determină segmente corespunzătoare proporționale în liniile lor transversale, atunci liniile sunt paralele

Dacă în figura 4 este îndeplinită

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Apoi putem afirma că: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Notația \({L_1}\parallel {L_2}\), citită \({L_1}\) este paralelă cu \({L_2}\).

Din proporția anterioară obținem:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Împărțirea unui segment în mai multe părți de lungime egală

Printr-un exemplu concret vom ilustra modul de împărțire a unui segment în părți de lungime egală.

Împărțiți segmentul \(\overline {AB} \) în 7 segmente de lungime egală

Situația inițială

Desenați o linie auxiliară care trece printr-unul dintre capetele segmentului

Cu sprijinul unei busole, pe linia auxiliară sunt desenate 7 segmente de lungime egală

Desenați linia care unește capetele ultimului segment desenat și celălalt capăt al segmentului de împărțit

Ele sunt trasate paralel cu ultima linie tocmai trasată care trece prin punctele în care arcele de circumferință se intersectează cu linia auxiliară.

Având în vedere un segment \(\overline {AB} \), se spune că un punct \(P\) al segmentului împarte segmentul \(\overline {AB} \), în raportul \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Împărțirea unui segment într-un raport dat

Dat un segment \(\overline {AB} \) și două numere întregi pozitive \(a, b\); punctul \(P\) care împarte segmentul în raportul \(\frac{a}{b};\;\) poate fi găsit astfel:

1. Împărțiți segmentul \(\overline {AB} \) în \(a + b\) segmente de lungime egală.
2. Luați segmentele \(a\) numărând din punctul \(A\).

exemple

Împărțirea segmentului \(\overline {AB} \) în raportul \(\frac{a}{b}\)

Motiv	Numărul de părți în care este împărțit segmentul	Locația punctului \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Exemple aplicate ale teoremei lui Thales

aplicație 1: Trei loturi se întind de la strada Sol până la strada Luna, așa cum se arată în figura 5.

Limitele laterale sunt segmente perpendiculare pe strada Luna. Dacă fața totală a loturilor de pe strada Sol măsoară 120 de metri, determinați fața fiecărui lot de pe strada respectivă, dacă se mai cunoaște:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Declarație problemă

Deoarece liniile sunt perpendiculare pe strada Luna, atunci sunt paralele între ele, aplicând teorema lui Thales putem afirma:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Din cele de mai sus putem concluziona:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

La fel putem concluziona:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Soluţie

Pentru a determina constanta de proporționalitate \(k,\) vom folosi proprietățile proporțiilor:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Din cele de mai sus obținem:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\stânga( {10} \dreapta) = 12.\)

În mod analog:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left({30} \right) = 36\)

Răspuns

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Lungime	12m	48m	24m	36m

aplicație 2: Un designer grafic a proiectat un raft în formă de paralelogram și va plasa 3 rafturi așa cum se arată în Figura 6, punctele E și F sunt punctele medii ale laturilor \(\overline {AD} \) și \(\overline {BC} ,\) respectiv. Trebuie sa faci taieturi in rafturi pentru a putea face ansamblurile. În ce parte a raftului trebuie făcute tăieturile?

Enunțarea problemei: Datorită condițiilor care sunt date în problemă, sunt îndeplinite următoarele:

\(ED = EA = CF = BF\)

Ca construcții auxiliare vom extinde laturile \(\overline {CB} \) și \(\overline {DA} \). Se trasează o dreaptă prin punctul A până la \(A\) și paralelă cu latura \(\overline {EB} \) și prin punctul \(C\;\) se trasează o dreaptă paralelă cu latura \(\overline {DF} \).

Vom folosi Teorema inversă a lui Thales pentru a arăta că segmentele \(\overline {EB} \) și \(\overline {DF} \) sunt paralele pentru a aplica teorema lui Thales.

Soluţie

Prin construcție patrulaterul \(EAIB\) este un paralelogram, deci avem că EA=BI, deoarece sunt laturi opuse ale unui paralelogram. Acum:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Aplicând reciproca reciprocă a teoremei lui Thales putem concluziona:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Luând ca transversale segmentele \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) și segmentele BC și CI; la fel de:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Luând \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) și segmentele \(\overline {AC} \) și \(\overline {EB} \) ca transversale, vom avea:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left({AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

În mod similar, se arată că:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Răspunsuri

Tăieturile diagonale \(\overline {AC} \) trebuie făcute în punctele \(G\;\) și \(H\), astfel încât:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Același lucru este valabil și pentru rafturile \(\overline {EB} \) și \(\overline {DF} \).