Definiția principiului/ecuației lui Bernoulli

Principiul lui Bernoulli, adesea numit și Ecuația lui Bernoulli, este unul dintre cele mai importante concepte din hidrodinamică și mecanica fluidelor. A fost formulată de fizicianul și matematicianul elvețian Daniel Bernoulli în 1738, ca parte a lucrării sale "hidrodinamică” și o parte din conservarea energiei într-un fluid ideal în mișcare.

Să ne imaginăm următoarea situație: Avem un furtun prin care curge apa, care părăsește furtunul cu o anumită viteză și o anumită presiune. Apoi procedăm să acoperim parțial orificiul de ieșire al furtunului cu un deget; făcând asta vedem cum apa iese acum cu o viteză mai mare. Acesta este un exemplu al principiului lui Bernoulli în acțiune.

Fluide ideale în mișcare

Principiul lui Bernoulli se aplică fluidelor ideale în mișcare, așa că înainte de a explica acest principiu, este important să menționăm ce înțelegem prin fluid ideal. Un fluid ideal este o simplificare a unui fluid real, aceasta se face din cauza descrierea unui fluid ideal este matematic mai simplu și ne oferă rezultate utile care pot fi extinse ulterior la cazul fluidului real.

Există patru ipoteze care sunt făcute pentru a considera un fluid ca fiind ideal și toate au de-a face cu fluxul:

• Flux constant: un flux constant este acela în care viteza cu care fluidul se mișcă este aceeași în orice punct al spațiului. Cu alte cuvinte, presupunem că fluidul nu suferă turbulențe.

• Incompresibilitate: De asemenea, se presupune că un fluid ideal este incompresibil, adică are o densitate constantă în orice moment.

• Nevâscozitatea: Vâscozitatea este o proprietate a fluidelor care, în termeni generali, reprezintă rezistența pe care fluidul o opune mișcării. Vâscozitatea poate fi considerată analogă cu frecarea mecanică.

• Curgerea iritațională: Prin această ipoteză ne referim la faptul că fluidul în mișcare nu efectuează nici un tip de mișcare circulară în jurul niciunui punct al traseului său.

Făcând aceste ipoteze și având un fluid ideal simplificăm foarte mult tratamentul matematic și asigurăm, de asemenea, conservarea energiei, care este punctul de plecare către principiul de Bernoulli.

Ecuația lui Bernoulli a explicat

Să luăm în considerare un fluid ideal care se deplasează printr-o țeavă, așa cum se arată în figura următoare:

Vom folosi acum Teorema Muncii și Energiei Cinetice, care este un alt mod de a exprima Legea conservării Energiei, aceasta ne spune că:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Unde \(W\) este lucrul mecanic total și \({\rm{\Delta }}K\) este modificarea energiei cinetice între două puncte. În acest sistem avem două tipuri de lucru mecanic, unul care se realizează prin forța gravitațională asupra fluidului și altul care rezultă din presiunea fluidului. Fie \({W_g}\) lucrul mecanic efectuat de gravitație și \({W_p}\) lucrul mecanic efectuat de presiune, putem spune atunci că:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Deoarece gravitația este o forță conservatoare, munca mecanică efectuată de aceasta va fi egală cu diferența de energie potențială gravitațională dintre două puncte. Înălțimea inițială la care se găsește fluidul este \({y_1}\), iar înălțimea finală este \({y_2}\), prin urmare, avem:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Unde \({\rm{\Delta }}m\) este porțiunea de masă a fluidului care trece printr-un anumit punct și \(g\) este accelerația datorată gravitației. Deoarece fluidul ideal este incompresibil, atunci \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Unde \(\rho \) este densitatea fluidului și \({\rm{\Delta }}V\) este porțiunea de volum care curge printr-un punct. Înlocuind aceasta în ecuația de mai sus obținem:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Să luăm acum în considerare munca mecanică efectuată de presiunea fluidului. Presiunea este forța exercitată pe unitatea de suprafață, adică \(F = PA\). Pe de altă parte, lucrul mecanic este definit ca \(W = F{\rm{\Delta }}x\) unde \(F\) este forța aplicată și \({\rm{\Delta }}x\) este deplasarea efectuată în acest caz pe axa x. În acest context, ne putem gândi la \({\rm{\Delta }}x\) ca lungimea porțiunii de fluid care curge printr-un anumit punct. Combinând ambele ecuații avem că \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Ne putem da seama că \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), adică este porțiunea de volum care curge prin acel punct. Prin urmare, avem că \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

La punctul inițial, se efectuează lucrări mecanice asupra sistemului egal cu \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) iar la punctul final sistemul efectuează lucrări mecanice asupra mediului înconjurător egal cu \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Lucrul mecanic datorat presiunii fluidului va fi atunci munca efectuată asupra sistemului minus munca pe care o face asupra mediului înconjurător, adică:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

În cele din urmă, diferența de energie cinetică \({\rm{\Delta }}K\) va fi egală cu energia cinetică la punctul final minus energia cinetică la punctul de început. Acesta este:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Din cele de mai sus, știm că \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ecuația de mai sus este astfel:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Inlocuind toate rezultatele obtinute in ecuatia de conservare a energiei, se obtine ca:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Putem factoriza termenul \({\rm{\Delta }}V\) de ambele părți ale ecuației, aceasta duce la:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \dreapta)\)

Dezvoltarea produselor lipsă trebuie să:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Rearanjand toti termenii de ambele parti ale ecuatiei obtinem ca:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Această ecuație este o relație între starea inițială și starea finală a sistemului nostru. Putem spune in sfarsit ca:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = constant\)

Această ultimă ecuație este ecuația Bernoulli din care derivă principiul său. Principiul lui Bernoulli este o lege de conservare a unui fluid ideal în mișcare.

Referințe

David Halliday, Robert Resnick și Jearl Walker. (2011). Fundamentele fizicii. Statele Unite ale Americii: John Wiley & Sons, Inc.