Exemplu de spațiu complet

Analiza matematică este ramura științelor matematice care se ocupă cu studiul spațiu complet, care este un tip de spațiu metric.

Un spațiu metric este format din perechi de puncte și o funcție de distanță între ele; în aceste spații este posibil să se definească o secvență Cauchy care este formată din distanțe din ce în ce mai mici între aceste două puncte. Când în spațiul metric nu mai este posibil să găsim o distanță mai mică în secvență, atunci avem un spațiu complet. Seturile numerice închise, adică cele în care există o limită, sunt spații complete.

Exemplu de spațiu complet:

Setul de numere naturale, inclusiv 0, este un spațiu complet, deoarece acest set este închis până la sfârșitul lui 0. Reprezentarea acestui set de numere este N= [0, 1, 2,... n}.

Să luăm două puncte între două elemente ale acestui set, de exemplu 4 și 8, reprezentate în felul următor p = (4, 8), funcția de distanță între două puncte este egală cu 4, secvența Cauchy este dată de secvența {4, 3, 2, 1, 0} care converge pe 0.

Un alt exemplu este setul de numere reale pozitive formate cu {0} care este reprezentat ca ȘI⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, deoarece dat două puncte în acest spațiu, secvența Cauchy va converge atunci când distanța este 0

Setul de numere raționale nu este un spațiu complet, deoarece distanța 0 (numărul 0 ca un număr nu există în acest set) ceea ce face ca secvența Cauchy să nu fie convergentă în niciun moment al acestui a stabilit.

Orice interval închis al numerelor naturale este un spațiu complet.