Exemplu binomial al lui Newton

Binomul lui Newton, numit si "teorema binomului " este un logaritm care ne permite să obținem puteri ale binomilor.

Pentru a obține puterea binomială, coeficienții numiți „coeficienți binomiali„Care constau din secvențe de combinații.

Exemplul 1, formule generale ale binomului lui Newton:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a - b)² = a² –2 ab + b²
(a + b) 3 a³ + 3 până la²b + 3 ab² + b³

Aceste formule sunt cunoscute sub numele de identități notabile, unde se creează o formulă mai generală care este echivalentă cu dezvoltarea lui (a + b)ⁿ, unde n este orice întreg natural.

Această formulă este valabilă pentru orice element la Da b a unui inel,

A (pentru legi + Da X) la

Condiția ca cele două elemente laDa b fie astfel încât la X b = b X la:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n la^n-2 xb² + ...
+ C^p_n  la^n-p x b^p +... + C_pⁿ¹ + bⁿ.

C^p_n sunt numere întregi naturale, numite coeficienți binomiali (cei care exprimă numărul de combinații de n obiecte luate p la p; poate fi calculat cu ușurință datorită triunghiului lui Pascal).

Exemplul 2, din binomul lui Newton:

Considerăm multiplicarea:

z. z = z² unde z poate fi orice expresie algebrică:

Acum să presupunem că z = X + Da, atunci:

z. z = (x + y) = (x + y) dar (x + y)

care poate fi calculat astfel:

x + y
x + y

Aici multiplicarea se efectuează de la stânga la dreapta și rezultatul se obține prin adunarea algebrică:

X² + x y
+ xy + y²

X² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Dacă luăm în considerare:

z. z. z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)². (x + y) 2. (x + y) = (x² + 2 xy + y²) (x + y)

Când se efectuează înmulțirea, obținem:

X2 + 2 x y + y2
+ x²y + 2 x y² + și²

X³ + 3 x² y + 3 x y² + și³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + și³.

 z³. z = z⁴

z3. z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Și când facem multiplicarea.

X³ + x² y + 3 x y² + și³

x + y_________________

X⁴ + 3 x³ y + 3 x² Da² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + și⁴

X⁴ + 4x³și + 6x² y + 4xy³ + și⁴

(x + y)⁴ = x4 + 4x³și + 6x² Da² + 4xy³ + și⁴