Определение неевклидовой геометрии

По сути, неевклидовы геометрии — это те, которые возникают в результате допроса так называемых Пятый постулат Евклида., поэтому необходима общая характеристика творчества Евклида, греческого математика и геометра, работа которого является парадигмой для Геометрия, считаться одним из его основателей. Известно с определенной безопасность которые жили в городе Александрии, культурном центре древности, около 300 г. до н.э. в.

Его работа Элементы он начинается с серии «принципов», состоящей из списка из 23 определений; за которыми следуют 5 постулатов, относящихся к цифры конкретно геометрические; и 5 общих аксиом, общих для других математических дисциплин. Далее, после принципов, Евклид вводит «предложения» двух типов: проблемы, относящиеся к

строительство фигур с линейкой и компасом; и теоремы, относящиеся к демонстрации свойств, которые некоторые геометрические фигуры.

пятый постулат Евклида

Он заявляет, что «Если прямая, падающая на две другие прямые, делает внутренние углы одной и той же стороны меньше двух прямых, тогда, если две прямые продолжить бесконечно, они пересекутся на той стороне, на которой углы меньше двух прямой”. Если бы углы были прямыми, то такие прямые, согласно определению № 23, были бы параллельны ("Параллельные линии — это линии, которые, если они лежат в одной плоскости и продолжаются бесконечно, не пересекаются ни в каком направлении.”).

Этот постулат, более сложный, чем предыдущие, сам по себе не был бесспорным: не было очевидно, что, продолжая линии до бесконечности, то они пересеклись бы на той стороне, где углы меньше двух прямых, так как это нельзя было бы доказать путем строительство. Тогда возможность того, что линии бесконечно приближались друг к другу, никогда не пересекаясь, оставалась открытой.

Попытки доказать пятый постулат

Именно по этой причине с античности до середины XIX века была череда неудачных попыток доказать пятый постулат: доказательство всегда достигалось; но вводя какой-то другой дополнительный постулат (логически эквивалентный пятому), отличный от постулатов Евклида. То есть пятый постулат не удалось доказать, а заменили равноценным.

Примером этого является постулат Джона Плейфера (с. XVIII): «Единственная точка, параллельная этой прямой, проходит через точку вне прямой, лежащей в той же плоскости." (известный как "постулат параллельности”). Неевклидовы геометрии возникают именно из-за неудачных попыток доказать пятый постулат евклидовой системы.

Тест на абсурдность Саккери

В 1733 году итальянский математик Джироламо Саккери попытался доказать абсурдность пятого постулата Евклида. Для этого он построил четырехугольник (известный как "Четырехугольник Саккери», в котором одна пара углов является прямыми углами) и заявил, что пятый постулат эквивалентен утверждению о том, что характеристические углы (противолежащие паре прямых углов) этого четырехугольника также являются прямыми углами. тогда есть три гипотеза возможные, взаимоисключающие: два характерных угла прямые, острые или тупые. Чтобы доказать пятый постулат абсурдом, нужно было доказать (не прибегая к пятому постулировалось), что гипотезы тупого и острого угла заключали в себе противоречие и, следовательно, были ложный.

Саккери удалось доказать, что гипотеза тупого угла противоречива, но в случае острого угла ему это не удалось. Напротив, он вывел ряд теорем, согласующихся с евклидовой геометрией и несовместимых с ней. Наконец, он пришел к выводу, что, учитывая странность этих теорем, гипотеза должна быть ложной. Следовательно, он считал, что доказал абсурдность пятого постулата; однако то, что он сделал, было непреднамеренным доказательством важного набора теорем неевклидовой геометрии.

«Одновременное» открытие неевклидовых геометрий

Карл Ф. Гаусс в девятнадцатом веке первым заподозрил, что пятый постулат нельзя доказать на основании четырех других (то есть что он независимо) и в осмыслении возможности неевклидовой геометрии, основанной на четырех евклидовых постулатах и ​​на отрицании пятый. Он никогда не публиковал свое открытие: это считается случаем одновременное открытие, потому что у него было три независимых референта (сам Гаусс, Янош Бойяи и Николай Лобачевский).

Отказ в пятый закон Евклида предполагает две возможности (принимая эквивалентную формулировку Playfair): через точку вне прямой линии либо нет параллельных проходов, либо более одного параллельного прохода. Среди неевклидовых геометрий мы находим, например, геометриювоображаемыйЛобачевского, впоследствии известного как «гиперболический"- согласно с, "Дана внешняя точка прямой, бесконечные пересекающиеся прямые, бесконечные непересекающиеся прямые и только две параллельные прямые проходят через эту точку.», в отличие от уникальной евклидовой параллели; или эллиптическая геометрия Бернхарда Римана, в которой утверждается, что «Через точку вне прямой не проходит никакая параллель этой прямой.”.

Приложения и последствия открытия

В настоящее время известно, что в локальном пространстве обе геометрии дают приближенные результаты. Различия возникают при описании физического пространства той или иной геометрией с учетом больших расстояний. Хотя мы продолжаем использовать евклидову геометрию, поскольку она наиболее просто описывает наше пространство в локальном масштабе, открытие неевклидовой геометрии было решающим, поскольку означало коренную трансформацию понимания истин научный.

До этого считалось, что евклидова геометрия действительно описывает пространство. При доказательстве возможности описания его через другую геометрию, с другими постулатами необходимо было переосмыслить критерии, по которым можно было предположить то или иное объяснение типа "истинный”.

Список используемой литературы

МАРТИНЕС ЛОРКА, А. (1980) «Этика Сократа и их влияние на мысль Occidental», в Revista Baética: Estudios de Arte, География и История, 3, 317-334. Университет Малаги.

Темы неевклидовой геометрии