Что такое уравнения Максвелла и как они определяются?

Анхель Замора Рамирес | июл. 2022
Степень по физике

До этих уравнений говорилось, что электрические и магнитные силы являются «силами на расстоянии», не было известно никаких физических средств, с помощью которых мог бы происходить этот тип взаимодействия. После многих лет исследований в электричество Д магнетизмМайкл Фарадей интуитивно догадался, что в пространстве между зарядами и электрическими токами должно быть что-то физическое, что позволило бы им взаимодействовать друг с другом и проявлять все электрические и магнитные явления, которые были известны, он сначала называл их «силовыми линиями», что привело к идее существования электромагнитного поля.

Основываясь на идее Фарадея, Джеймс Клерк Максвелл развивает теорию поля, представленную четырьмя уравнениями в частных производных. Максвелл называл это «электромагнитной теорией» и был первым, кто включил этот тип математического языка в физическую теорию. Уравнения Максвелла в их дифференциальной форме для вакуума (то есть в отсутствие диэлектрических и/или поляризуемых материалов) выглядят следующим образом:

\ (\ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho }{ {{\ epsilon} _ {0}}} \)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\набла\cdot\vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu}_{0}}\vec{J}+{{\mu}_{0}}{{\epsilon}_{0}}\frac {\ парциальное \ vec {E}} {\ парциальное т} \)
Уравнения Максвелла для вакуума в дифференциальной форме

Где \(\vec{E}~\) — электрическое поле, \(\vec{B}~\) — магнитное поле, \(\rho ~\) — плотность электрический заряд, \(\vec{J}~~\) — вектор, связанный с электрический ток, \({{\epsilon}_{0}}~\) - электрическая проницаемость вакуума и \({{\mu }_{0}}~~\) - магнитная проницаемость вакуума. Каждое из этих уравнений соответствует закон электромагнетизма и имеет смысл. Я кратко объясню каждый из них ниже.

Закон Гаусса

\ (\ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho }{ {{\ epsilon} _ {0}}} \)
Закон Гаусса для электрического поля

Это первое уравнение говорит нам о том, что электрические заряды являются источниками электрического поля, это электрическое поле «расходится» непосредственно от зарядов. Кроме того, направление электрического поля диктуется знаком электрического заряда, его создающего, а то, насколько близко расположены силовые линии, указывает на величину самого поля. Изображение ниже несколько резюмирует то, что только что было упомянуто.

Иллюстрация 1. Из Studiowork.- Схема электрических полей, создаваемых двумя точечными зарядами, одним положительным и одним отрицательным..

Этот закон обязан своим названием математику Иоганну Карлу Фридриху Гауссу, который сформулировал его на основе своей теоремы о дивергенции.

Закон Гаусса для магнитного поля

\(\набла\cdot\vec{B}=0\)

Закон Гаусса для магнитного поля

У этого закона нет конкретного названия, но он назван так из-за сходства с предыдущим уравнением. Смысл этого выражения в том, что не существует «магнитного заряда», аналогичного «электрическому заряду», то есть не существует магнитных монополей, являющихся источником магнитного поля. Вот почему, если мы сломаем магнит пополам, у нас все равно останется два одинаковых магнита, оба с северным полюсом и южным полюсом.

Закон Фарадея

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Закон индукции Фарадея

Это знаменитый закон индукции, сформулированный Фарадеем в 1831 году, когда он обнаружил, что изменяющиеся магнитные поля способны индуцировать электрические токи. Это уравнение означает, что магнитное поле, изменяющееся со временем, способно индуцировать вокруг него возникает электрическое поле, которое, в свою очередь, может вызывать движение электрических зарядов и создавать ручей. Хотя на первый взгляд это может показаться очень абстрактным, закон Фарадея лежит в основе работы двигателей, электрогитар и индукционных плит.

Закон Ампера – Максвелла

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu}_{0}}\vec{J}+{{\mu}_{0}}{{\epsilon}_{0}}\frac {\ парциальное \ vec {E}} {\ парциальное т} \)

Первое, что говорит нам это уравнение, это то, что электрические токи генерируют магнитные поля вокруг направления тока и что величина генерируемого магнитного поля зависит от величины этого, это было то, что наблюдал Эрстед и что позже смог обнаружить Ампер. сформулировать. Однако за этим уравнением скрывается нечто любопытное, а именно то, что второй член на стороне закон уравнения было введено Максвеллом, потому что это выражение изначально несовместимо с другими, в частности, это приводило к нарушению закона сохранения электрического заряда. Чтобы избежать этого, Максвелл просто ввел этот второй член, чтобы вся его теория была непротиворечивой, этот член получил название «ток смещения», и в то время не было никаких экспериментальных подтверждений этому. будет резервное копирование

Иллюстрация 2. Де Рамруай. Электрический ток, протекающий по кабелю, создает вокруг него магнитное поле в соответствии с законом Ампера.

Смысл тока смещения в том, что так же, как магнитное поле переменная индуцирует электрическое поле, электрическое поле, которое изменяется во времени, способно генерировать поле магнитный. Первым экспериментальным подтверждением тока смещения была демонстрация существования электромагнитных волн Генрихом Герцем в 1887 году, более чем через 20 лет после публикации теории Максвелл. Однако первое прямое измерение тока смещения было сделано М. Р. Ван Каувенберге в 1929 году.

свет это электромагнитная волна

Одним из первых ошеломляющих предсказаний, сделанных уравнениями Максвелла, является существование электромагнитные волны, но не только это, они также показали, что свет должен быть волной этого Тип. Чтобы увидеть это, мы поиграем с уравнениями Максвелла, но перед этим вот форма любого волнового уравнения:

\({{\nabla}^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial}^{2}}u}{\partial {{ т}^{2}}}\)
Общая форма волнового уравнения в трех измерениях.

Где \({{\nabla}^{2}}\) — оператор Лапласа, \(u\) — волновая функция, а \(v\) — скорость волны. Мы также будем работать с уравнениями Максвелла в пустом пространстве, то есть в отсутствие электрических зарядов и электрических токов, только электрические и магнитные поля:

\(\набла\cdot\vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\набла\cdot\vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu}_{0}}{{\epsilon}_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

И мы также будем использовать следующее личность векторное исчисление:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \время{А}\)

Если мы применим это тождество к электрическому и магнитному полям, используя приведенные выше уравнения Максвелла для пустого пространства, мы получим следующие результаты:

\({{\nabla}^{2}}\vec{E}={{\mu}_{0}}{{\epsilon}_{0}}\frac{{{\partial}^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla}^{2}}\vec{B}={{\mu}_{0}}{{\epsilon}_{0}}\frac{{{\partial}^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Обратите внимание на сходство этих уравнений с волновым уравнением выше, в вывод, электрические и магнитные поля могут вести себя как волны (электромагнитные волны). Если мы определим скорость этих волн как \(c\) и сравним эти уравнения с приведенным выше волновым уравнением, мы можем сказать, что скорость равна:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu}_{0}}{{\epsilon}_{0}}}}\)

\({{\mu}_{0}}\) и \({{\epsilon}_{0}}\) - магнитная проницаемость и электрическая проницаемость вакуума соответственно, и обе являются константами универсалии, значения которых равны \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) и \({{\ эпсилон } 0}}=8,8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), подставляя эти значения, мы получаем, что значение \(c\) равно \(c=299 792 458\frac{m}{s}\приблизительно 300 000~км/с\), что точно соответствует скорости легкий.

С помощью этого небольшого анализа мы можем сделать три очень важных вывода:

1) Электрические и магнитные поля могут вести себя как волны, то есть существуют электромагнитные волны, способные также распространяться в вакууме.

2) Свет — это электромагнитная волна, скорость которой зависит от магнитной проницаемости и диэлектрической проницаемости. среды, через которую он распространяется, в пустом пространстве свет имеет скорость примерно 300 000 км/с.

3) Поскольку магнитная проницаемость и электрическая проницаемость являются универсальными константами, то скорость света также является универсальной константой, но это также означает, что ее значение не зависит из рамки от которого он измеряется.

Это последнее утверждение было весьма спорным в то время.Как возможно, что скорость свет одинаков независимо от движения измеряющего его человека и движения источника света. легкий? Скорость чего-то должна быть относительной, верно? Что ж, это был водораздел для физики того времени, и этот простой, но важный факт привел к разработке специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном в 1905 году.