Что такое уравнение Дирака и как оно определяется?

Поль Адриен Морис Дирак (1902-1984) предложил в конце 1928 г. одно из наиболее важных и значения в физике современной эпохи, и это потому, что она объединяет принципы квантовой механики с принципами относительность.

Цитата (АПА)

Эвелин Мейти Марин | авг. 2022
Инженер-технолог, магистр физики и EdD

Это уравнение можно выразить несколькими способами, самый компактный и упрощенный из которых считается одним из самых эстетичных уравнений в науке:

\(\left( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \right) = 0\)

Где:
я: воображаемая единица
m: масса покоя электрона
ħ: приведенная постоянная Планка
с: скорость света
: оператор суммирования частных производных
: математическая волновая функция электрона

Абсолютное значение квадрата волновой функции представляет собой вероятность найти частицу в определенном положении, учитывая ее Энергия, скорость, среди прочих параметров, а также его эволюция в то время. Другими словами, уравнение Поля Дирака использует матрицы, действующие на векторы, и представляет собой эволюцию уравнения Шредингера в релятивистской квантовой физике.

Уравнение Дирака первоначально использовалось для описания поведения электрона, лишенного взаимодействия, хотя его применимость распространяется и на описание субатомных частиц, когда они движутся со скоростями, близкими к скорости света. Дираку удалось объяснить на субатомном уровне уже известное в то время двойственное поведение волны и частицы, поскольку он рассматривал такие свойства частиц, как угловой момент внутренний или спина.

Еще одним значительным вкладом уравнения Дирака является предсказание антивещества, существование которого было продемонстрировано позже (в 1932 году) Карлом Д. Андерсон с помощью камеры Вильсона, с помощью которой он идентифицировал позитрон. Это также в значительной степени объясняет тонкую структуру, идентифицированную в атомных спектральных линиях.

На изображении показана знаменитая фотография, сделанная во время конференции «Фотоны и электроны» в 1927 году, на которой изображены одни из самых выдающихся ученых в истории. В небесной окружности находится Поль Дирак.

Фон уравнения Дирака

Чтобы понять соображения Дирака при построении его уравнения, а также основы, на которых базировался его подход, важно знать теории, предшествовавшие его модель.

Во-первых, это знаменитое уравнение квантовой механики Шредингера, опубликованное в 1925 году, которое преобразует величины в квантовые операторы. Это уравнение использует волновую функцию (), взяв за отправную точку классическое уравнение энергии E = p2/2m и включает правила квантования как для импульса (p), так и для энергии (А ТАКЖЕ):

\(ih\frac{\partial}{{\partial t}}\left({r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}}{{2m}}{\ набла ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

Частная производная /t выражает эволюцию системы во времени. Первый член в квадратных скобках относится к Кинетическая энергия (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), а второй член относится к потенциальная энергия.

Примечание: в теории относительности Эйнштейна переменные пространства и времени должны в равной степени входить в уравнений, чего нельзя сказать об уравнении Шрёдингера, в котором время выступает как производная, а положение как вторая производная.

Теперь, на протяжении веков, ученые пытались найти модель физики, объединяющую различные теории, и в случае Уравнение Шрёдингера учитывает массу (m) и заряд электрона, но не учитывает релятивистские эффекты, проявляющиеся при высоких скорости. По этой причине в 1926 году ученые Оскар Кляйн и Уолтер Гордон предложили уравнение, учитывающее принципы относительности:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Проблема с уравнением Клейна-Гордона заключается в том, что оно основано на уравнении Эйнштейна, в котором энергия возводится в квадрат, поэтому это уравнение (Клейна-Гордона) включает квадрат производной по времени, а это означает, что он имеет два решения, допускающих отрицательные значения времени, а это не имеет смысла физ. Точно так же он имеет неудобство генерации значений вероятности меньше нуля в качестве решений.

Пытаясь устранить несоответствия, возникающие из-за отрицательных решений определенных величин, которые не поддерживают эти результаты, Поль Дирак начал с уравнения Клейна-Гордона, чтобы линеаризовать ее, и в этой процедуре он ввел два параметра в виде матриц размерности 4, известных как матрицы Дирака или также матрицы Паули, которые являются представлением алгебры вращение. Эти параметры обозначаются как  и ` (в уравнении энергии они представлены как E = pc + mc2):

По тому, что равенство выполняется условие, что ´2 = m2c4

В общем, правила квантования приводят к операциям с производными, применимыми к скалярным волновым функциям, однако, поскольку параметры α и β являются матрицами 4x4, дифференциальные операторы вмешиваются в четырехмерный вектор (), известный как спинор.

Уравнение Дирака решает проблему отрицательной энергии, представленную уравнением Клейна-Гордона, но решение с отрицательной энергией все еще появляется; то есть частицы со свойствами, аналогичными свойствам другого раствора, но с противоположным зарядом, Дирак назвал это античастицами. Кроме того, с помощью уравнения Дирака показано, что спин является результатом применения релятивистских свойств к квантовому миру.