Определение квадратичной функции

Квадратичная функция вещественной переменной, форма которой выражается.

\ (е \ влево ( х \ вправо) = а {х ^ 2} + Ьх + с \)

Где переменная равна \(x\), \(a, b\) и c - вещественные константы, называемые коэффициентами квадратичной функции с \(a \ne 0.\)

В таблице приведены общие примеры квадратичных функций и ситуаций, которые они могут моделировать, чтобы позже проиллюстрировать их прямое применение из реальных задач.

Квадратичная функция	Ситуация, которую вы можете смоделировать
\ (е \ влево ( х \ вправо) = {х ^ 2} \)	Переменная \(y\) представляет собой площадь квадрата, сторона которого равна \(x\).
\ (е \ влево ( х \ вправо) = \ пи {х ^ 2} \)	Переменная \(y\) — это площадь круга, радиус которого равен \(x\).
\(f\влево(х\вправо) = 100 – 4,9{х^2}\)	Переменная \(y\) — это высота объекта, упавшего с высоты 100, а \(x\) — прошедшее время.
\ (f \ влево ( x \ вправо) = 60 \ влево ( {{\ bf {sin}} 45 ^ \ circ } \ right) x - 4,9 {x ^ 2} \)	Переменная \(у\) представляет собой высоту пушечного ядра, брошенного под углом 45° со скоростью 60 м/с, а \(х\) - прошедшее время. instagram story viewer

Общая формула и квадратичная функция

Если при \(x = \alpha\) квадратичная функция равна нулю, то число \(\alpha\) называется корнем квадратной функции, да, \(\alpha\) является решением квадратного уравнения

\(а{х^2} + Ьх + с = 0\)

Общая формула для решения квадратных уравнений заключается в том, что корни квадратной функции:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Из вышеизложенного устанавливается следующая связь между корнями и коэффициентами квадратичной функции:

\(\alpha + \beta = - \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Благодаря известным продуктам устанавливается следующая идентичность:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - \alpha} \right)\left( {x - \beta} \right)\)

Аналогичным образом установленному в общей формуле устанавливается, что квадратичная функция может быть выражена в виде:

\ (е \ влево ( х \ вправо) = а {\ влево ( {х - ч} \ вправо) ^ 2} + к \)

С \(h = – \frac{b}{{2a}}\) и \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Решив уравнение:

\ (а {\ влево ({х - ч} \ вправо) ^ 2} + к = 0 \)

Получается:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что \(f\left( x \right) = a{\left( {x - h} \right)^2} + k\), только если константы \(k\) и \(а\) принадлежат противоположных знаков, эта квадратичная функция имеет действительные корни, а именно: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Если константы \(к\) и \(а\) имеют один и тот же знак, то квадратичная функция не имеет действительных корней.

При \(k = 0,\;\;\) квадратичная функция имеет только один корень.

Примеры из реальной жизни

Пример применения 1: экономика

Школа хочет организовать футбольный турнир, в котором каждая команда играет с каждой другой командой только один раз. Существует бюджет в размере 15 600 долларов США на расходы по арбитражу, если стоимость арбитража составляет 200 долларов США за игру. Сколько команд может зарегистрироваться для участия в турнире?

Постановка задачи: мы должны найти функцию, которая вычисляет количество совпадений, когда у нас есть \(n\) команд для их подсчета сделаем предположение, что команда 1 играет первой со всеми остальными, то есть \(n – 1\) Матчи. Команда 2 теперь будет играть со всеми остальными, то есть с \(n – 2\), так как они уже сыграли с командой 1. Команда 3 уже сыграла с командами 1 и 2, поэтому им придется играть с n-3 командами.

С учетом приведенных выше рассуждений приходим к следующему:

\(f\left( n \right) = n - 1 + n - 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Функция стоимости:

\(C\влево(n\вправо) = 200f\влево(n\вправо) = 100n\влево({n - 1} \вправо)\)

Имея бюджет в 15 600 долларов, мы имеем уравнение:

\(100n\влево( {n – 1} \вправо) = 15600\)

решение уравнения

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Исходная ситуация
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Разделите каждую часть уравнения на 100
\({n^2} – n – 156 = \) Добавьте \( – 156\) к каждой части уравнения
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Имеем \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) и \( – 13 + 12 = – 1\)
Это было учтено.
Решения уравнения \(n = – 12,\;13\)
Ответ: Бюджета хватит на регистрацию 13 команд.

Пример приложения 2: экономика

Столичная транспортная автобусная компания заметила, что за восьмичасовой рабочий день каждый из ее автобусов перевозит в среднем одну тысячу пассажиров. Чтобы иметь возможность повышать зарплату своим работникам, вам нужно увеличить плату за проезд, которая в настоящее время составляет 5 долларов; Экономист подсчитал, что на каждый песо, на который увеличивается стоимость проезда, каждый грузовик теряет в среднем 40 пассажиров каждый день. Компания подсчитала, что для покрытия повышения заработной платы она должна ежедневно получать дополнительно $760 на каждый грузовик.

Постановка задачи: пусть \(x\) будет суммой песо, на которую подорожает билет, для которой \(5 + x\) будет новая стоимость билета. При таком же увеличении каждый грузовик будет перевозить в среднем \(1000 - 40x\) пассажиров в день.

Наконец, доход на один грузовик:

\(I\влево( x \вправо) = \влево( {5 + x} \вправо)\влево( {1000 – 40x} \вправо) = – 40\влево( {x + 5} \вправо)\влево( {х – 25} \справа)\)

Чтобы покрыть повышение зарплаты, каждый автобус должен собрать: \(1000\влево( 5\вправо) + 760 = 5760\)

Наконец, мы имеем уравнение:

\( – 40\влево( {x + 5} \вправо)\влево( {x – 25} \вправо) = 5760\)

решение уравнения
\( – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Исходная ситуация
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x - 25} \right) = - 144\) Разделите на \( - 40\) каждую часть уравнения
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Замечательный продукт был разработан
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 было добавлено к каждому
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Имеем \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ справа) = 19\) и \( – 19 – 1 = – 20\)
факторизованный
Решения уравнения \(n = 1,19\)
Ответ: Цена билета может подняться на 1 доллар или 19 песо.

Пример приложения 3: экономика

Хлебный магазин продает в среднем 1200 булочек в неделю по 6 долларов каждая. Однажды он решил поднять цену до 9 долларов за штуку; теперь ее продажи снизились: в среднем она продает всего 750 булочек в неделю. Какой должна быть цена каждой булочки, чтобы выручка торговой точки была максимально возможной? Предположим, что существует линейная зависимость между спросом и ценой.

Постановка задачи: если предположить, что существует линейная зависимость между спросом D и ценой \(x,\), то

\(D = mx + b\)

Когда \(x = 6;D = 1200;\;\), что генерирует уравнение:

\(1200 = 6м + б\)

При \(x = 9;D = 750;\;\)10 и получается уравнение:

\(750 = 9m + b\)

Решая систему уравнений, связь между спросом и ценой имеет вид:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\влево( {x – 14} \вправо)\)

Доход равен

\(I\влево( x \вправо) = Dx = - 150x\влево( {x - 14} \вправо)\)

Решение

График дохода в виде параболы, которая направлена ​​вниз и максимальное значение которого достигается в вершине на который можно найти усреднением корней квадратичной функции, моделирующей доход. Корни равны \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\влево(ч\вправо) = – 150\влево( 7\вправо)\влево({7 – 14} \вправо) = 7350\)

Отвечать

Максимальный доход составляет 7350 долларов США и достигается при цене 7 долларов США; продавая в среднем 1050 рулонов в неделю.

Пример применения 4: экономика

Стоимость изготовления \(n\) стульев за один день можно рассчитать с помощью квадратичной функции:

\(C\влево(n\вправо) = {n^2} – 200n + 13000\)

Определить минимальную стоимость, которую можно получить.

Постановка задачи

График \(C\left( n \right)\) представляет собой параболу, которая открывается вверх и достигает точки минимума в точке \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ влево( { – 200} \вправо)}}{{2\влево( 1 \вправо)}} = 100\)

\(C\влево({100}\вправо) = {\влево({100}\вправо)^2} – 200\влево({100}\вправо) + 13000 = 3000\)

Отвечать

Наименьшая возможная стоимость равна 3000 долларов и достигается при изготовлении 100 стульев.

Пример приложения 5: Геометрия

Ромб имеет площадь 21 см2; Если сумма длин его диагоналей равна 17 см, то какова длина каждой диагонали ромба?

Постановка задачи: площадь ромба вычисляется с помощью:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

С \(D\) и \(d\) длинами его диагоналей также известно:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 - d\)

Заменив, вы получите:

\(A = \frac{{\left({17 - d} \right) d}}{2}\)

В итоге получаем уравнение

\(\frac{{\left({17 - d} \right) d}}{2} = 21\)

Решение
\(\frac{{\left( {17 - d} \right) d}}{2} = 21\) Исходная ситуация
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Умножить на \( – 40\) каждую часть уравнения
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Продукт разработан.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Имеем \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ справа) = 42\) и \( – 14 – 3 = – 17\)
факторизованный
Решения уравнения \(d = 3.14\)
Отвечать:

Диагонали ромба равны 14 см и 3 см.

Пример приложения 6: Геометрия

Желательно построить курятник прямоугольной формы площадью 140 м2, воспользовавшись достаточно длинным забором, который будет образовывать дно курятника. Остальные три стороны будут построены из 34 погонных метров проволочной сетки, сколько должна быть длина и ширина курятника, чтобы использовать всю сетку?

Какую максимальную площадь можно огородить одной и той же сеткой при тех же условиях?

Постановка задачи: Согласно диаграмме площадь равна:

\(A\влево( x \вправо) = x\влево( {34 – 2x} \вправо) = 2x\влево( {17 – x} \вправо)\)

Где \(x\) - длина стороны, перпендикулярной забору.

Чтобы узнать размеры прямоугольника так, чтобы он имел площадь 140 м2, достаточно решить уравнение

\(2x\влево( {17 – x} \вправо) = 140\)

Поскольку график \(A\left( x \right)\) представляет собой параболу, которая открывается вниз для вычисления максимального значения площади, достаточно вычислить вершину параболы.

Ответы
Размеры прямоугольника площадью 140 м2
Длина стороны, перпендикулярной забору

\(x\) Длина стороны, параллельной забору

\(34 – 2х\)
10 14
7 20

Первая координата вершины равна \(h = \frac{{17}}{2}\) и

\(А\влево(ч\вправо) = \frac{{289}}{2}\)

Площадь максимальна, когда перпендикулярная сторона имеет размеры \(\frac{{17}}{2}\;\) м, а параллельная сторона имеет размеры 17 м, она измеряет 17 м, значение максимальной достигнутой площади равно \(\frac{ {289}} {2}\)м2.

График квадратичной функции

С геометрической точки зрения корни — это точки пересечения графика функции с осью \(х\).

Из выражения

\ (е \ влево ( х \ вправо) = а {\ влево ( {х - ч} \ вправо) ^ 2} + к, \)

Установим общий вид графика квадратичной функции.

Первый случай \(a > 0\) и \(k > 0\)

\ (е \ влево ( х \ вправо) = а {\ влево ( {х - ч} \ вправо) ^ 2} + к \)

\(Икс\)	\(е\влево(х\вправо)\)
\(ч – 1\)	\(а + к\)
\(ч – 2\)	\(4а + к\)
\(ч – 3\)	\(9а + к\)
\(ч – 4\)	\(16а + к\)
\(час\)	\(к\)
\(ч + 1\)	\(а + к\)
\(ч + 2\)	\(4а + к\)
\(ч + 3\)	\(9а + к\)
\(ч + 4\)	\(16а + к\)

В этом случае граф удовлетворяет:

Симметричный: с осью симметрии \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) То есть \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + с} \справа)\)

Он находится над осью \(х\) и не пересекает ее. То есть \(f\left( x \right) > 0\) не имеет действительных корней.

Самая нижняя точка на графике находится в точке \(\left( {h, k} \right)\). То есть \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Второй случай \(a <0\) и \(k <0\)

\ (е \ влево ( х \ вправо) = а {\ влево ( {х - ч} \ вправо) ^ 2} + к \)

\(Икс\)	\(е\влево(х\вправо)\)
\(ч – 1\)	\(а + к\)
\(ч – 2\)	\(4а + к\)
\(ч – 3\)	\(9а + к\)
\(ч – 4\)	\(16а + к\)
\(час\)	\(к\)
\(ч + 1\)	\(4а + к\)
\(ч + 2\)	\(9а + к\)
\(ч + 3\)	\(4а + к\)
\(ч + 4\)	\(16а + к\)

В этом случае граф удовлетворяет:

Симметричный: с осью симметрии \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) То есть \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + с} \справа)\)

Он находится ниже оси \(х\) и не пересекает ее. То есть \(f\left( x \right) < 0\) не имеет действительных корней. Самая высокая точка на графике находится в точке \(\left( {h, k} \right)\). То есть \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Третий случай \(a > 0\) и \(k \le 0\).

Этот случай аналогичен первому, разница в том, что теперь у нас есть один действительный корень (когда \(k = 0\)) или два действительных корня.

В этом случае граф удовлетворяет:

Симметричный: с осью симметрии \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) То есть \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + с} \справа)\)

Она пересекает ось \(х\), то есть имеет хотя бы один действительный корень.

Самая нижняя точка на графике находится в точке \(\left( {h, k} \right)\). То есть \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Четвертый случай \(a < 0\) и \(k \ge 0\). Этот случай аналогичен второму, разница в том, что теперь у нас есть один действительный корень (когда \(k = 0\)) или два действительных корня. В этом случае граф удовлетворяет:

Симметричный: с осью симметрии \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) То есть \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + с} \справа)\)

Самая нижняя точка на графике находится в точке \(\left( {h, k} \right)\). То есть \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

График квадратичной функции называется параболой, а его элементы, которые следует выделить, — это ось симметрии, точки ее пересечения. к оси \(x\) и вершине, которая является точкой на графике функции, где она достигает самой низкой или самой высокой точки в зависимости от случай.

На основании проведенного анализа мы можем констатировать:

Парабола, связанная с квадратичной функцией \(f\left(x\right) = a{x^2} + bx + c\), имеет вершину в точке \(\left({h, k} \right)\), где :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

Примеры

Квадратичная функция \(y = {x^2}\)	важные элементы
Вершина параболы	\(\влево({0,0} \вправо)\)
Ось симметрии параболы	\(х = 0\)
Пересечения с осью \(x\)	\(\влево({0,0} \вправо)\)

Квадратичная функция \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	важные элементы
Вершина параболы	\(\влево({2,0}\вправо)\)
Ось симметрии параболы	\(х = 2\)
Пересечения с осью \(x\)	\(\влево({2,0}\вправо)\)

Квадратичная функция \ (у = {\ влево ({х + 2} \ вправо) ^ 2} - 4 \)	важные элементы
Вершина параболы	\(\влево({-2,-4} \вправо)\)
Ось симметрии параболы	\(х = - 2\)
Пересечения с осью \(x\)	\(\влево( { – 4,0} \вправо);\влево({0,0} \вправо)\)

Квадратичная функция \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	важные элементы
Вершина параболы	\(\влево({9,8} \вправо)\)
Ось симметрии параболы	\(х = 9\)
Пересечения с осью \(x\)	\(\влево({5,0}\вправо);\влево({13,0}\вправо)\)

Квадратичная функция \(y = {x^2} + 1\)	важные элементы
Вершина параболы	\(\влево({0,1}\вправо)\)
Ось симметрии параболы	\(х = 0\)
Пересечения с осью \(x\)	Не имеет

Квадратичная функция \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	важные элементы
Вершина параболы	\(\влево({2, - 1} \вправо)\)
Ось симметрии параболы	\(х = 2\)
Пересечения с осью \(x\)	Не имеет

Если действительные корни квадратичной функции существуют, мы можем построить по ним связанную с ней параболу. Предположим, что \(f\left( x \right) = a\left( {x - \alpha} \right)\left( {x - \beta} \right)\)

Для этого необходимо учитывать следующее:

\ (\ альфа + \ бета = - \ гидроразрыва {b} {а} \)

\(\ frac {{\ alpha + \ beta}} {2} = - \ frac {b} {{2a}} = h \)

Как

\(к = е\влево(ч\вправо)\)

\ (k = f \ left ( {\ frac {{\ alpha + \ beta}} {2}} \ right) \)

\ (к = а \ влево ( {\ гидроразрыва {{\ альфа + \ бета}} {2} - \ альфа} \ вправо) \ влево ( {\ гидроразрыва {{\ альфа + \ бета}}} {2} - \ бета } \справа)\)

\ (k = - \ frac {a} {4} {\ left ({\ alpha - \ beta} \ right) ^ 2} \)

Примеры

Нарисуйте график квадратичной функции \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Решение

Корни \(\alpha = 3\;\) и \(\beta = - 6\); тогда \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { - \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = - \фракция {{81}}{{16}}\)

Таким образом, мы можем построить следующую таблицу

\(f\влево( x \вправо) = 2\влево({x - 3} \вправо)\влево({x + 6} \вправо)\)	важные элементы
Вершина параболы	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Ось симметрии параболы	\(х = – \фракция{{81}}{2}\)
Пересечения с осью \(x\)	\(\влево( { – 6,0} \вправо)\;,\;\влево({3,0} \вправо)\)

Чтобы нарисовать график функции:

\(е\влево(х\вправо) = 3{х^2} – 18х + 4\)

Мы будем использовать те же идеи, которые уже использовали; Для этого сначала определим вершину.

В этом случае \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Поскольку \(a > 0\), парабола «раскроется» и \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Далее вычислим \(k:\)

\(k = f\влево(ч\вправо) = f\влево(3\вправо) = 3{\влево(3\вправо)^2} – 18\влево( 3\вправо) + 4 = – 23\)

Вершина параболы находится в точке \(\left( {3, – 23} \right)\) и, поскольку она открывается вверх, то парабола пересекает ось \(x\;\), а ее ось симметрии равна \ (х = 3\).

Теперь рассмотрим квадратичную функцию

\(е\влево(х\вправо) = - 5{х^2} + 10х - 9\)

В этом случае \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Поскольку \(a < 0\), парабола будет «раскрываться» вниз и \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \вправо)\влево( { - 5} \вправо)}}} \вправо) = 1.\) А Далее вычислим \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ справа) - 9 = - 4 \) Вершина парабола находится в точке \(\left( {1, - 4} \right)\) и поскольку она открывается вниз, то парабола не будет пересекать ось \(x\;\) и ее ось симметрии равна \(x = 1.\)