Определение геометрической прогрессии

Последовательность чисел \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Прогрессия называется геометрической, если, начиная со второго, каждый элемент получается умножением предыдущего на число \(r\ne 0\), то есть если:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Где:
- Число \(r\) называется отношением геометрической прогрессии.
- Элемент \({{a}_{1}}\) называется первым элементом арифметической прогрессии.

Элементы геометрической прогрессии можно выразить через первый элемент и его отношение, то есть:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{г}^{3}}\)

Это первые четыре элемента арифметической прогрессии; в общем случае \(k-\)-й элемент выражается следующим образом:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

При \({{a}_{1}}\ne 0,~\) предыдущего выражения получаем:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\ frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{kl}}\)

Приведенное выше выражение эквивалентно:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{kl}}\)

Пример/упражнение 1. Найдите разность арифметической прогрессии: \(2,6,18,54,\ldots\) и найдите элементы \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Решение

Так как \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), мы можем заключить, что отношение равно:

\(г=3\)

\({{a}_{20}}=2\влево({{3}^{20-1}} \вправо)=2{{\влево( 3 \вправо)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Пример/упражнение 2. В арифметической прогрессии имеем: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), определяем отношение геометрической прогрессии и пишем первые 5 элементов.

Решение

Утомительный

\(\ frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{kl}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=г\)

Найти первые 5 элементов арифметической прогрессии; мы рассчитаем \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left(-4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Первые 5 элементов геометрической прогрессии:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left(-4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\ влево( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left(-4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\ влево(-4 \справа)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Пример/упражнение 3. Тонкое стекло поглощает 2% проходящего через него солнечного света.

к. Какой процент света пройдет через 10 таких тонких стекол?

б. Какой процент света пройдет через 20 таких тонких стекол?

в. Определить процент света, проходящего через \(n\) тонких стекол с одинаковыми характеристиками, расположенных последовательно.

Решение

Мы будем представлять с 1 общий свет; поглощая 2% света, 98% света проходит через стекло.

Мы будем представлять через \({{a}_{n}}\) процент света, проходящего через стекло \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \справа)}^{2}}\слева( 0,98 \справа),\)

В общем случае \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

к. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); что говорит нам о том, что через стекло 10 проходит 81,707% света

б. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); что говорит нам о том, что после стекла 20 проходит 66,761%

Сумма первых \(n\) элементов геометрической прогрессии

Учитывая геометрическую прогрессию \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r, {{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Когда \(r\ne 1\) является суммой первых \(n\) элементов, сумма:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Его можно рассчитать с

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Пример/упражнение 4. Из примера 2 вычислить \({{S}_{33}}\).

Решение

В этом случае \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) и \(r=-4\)

применение

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left(-4 \right)}^{22}}} {1-\влево(-4\вправо)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left(-4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Пример/упражнение 5. Предположим, человек загружает фотографию своего питомца и делится ею с 3 своими друзьями в социальной сети Интернет, и через час каждый из их, делится фотографией с тремя другими людьми, а затем последний, еще через час, каждый из них делится фотографией с 3 другими людьми люди; И так продолжается; каждый человек, получивший фотографию, делится ею с 3 другими людьми в течение часа. Через 15 часов у скольких людей уже есть фотография?

Решение

В следующей таблице показаны первые расчеты
Время Люди, получившие фотографию Люди, получившие фотографию
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Количество людей, получивших фотографию в час \(n\), равно: \({{3}^{n}}\)

Количество людей, у которых уже есть фотография в час, равно:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

применение

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

С \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) и \(n=15\)

Посредством чего:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

геометрические средние

Для двух чисел \(a~\) и \(b,\) числа \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) называются \(k\) средними геометрическими чисел \(a~\) и \(b\); если последовательность \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) является геометрической прогрессией.

Чтобы знать значения \(k\) средних геометрических чисел \(a~\) и \(b\), достаточно знать отношение арифметической прогрессии, для этого необходимо учитывать следующее:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {а}_{к+2}}=б,\)

Из вышеизложенного устанавливаем соотношение:

\(б=а{{г}^{к+1}}\)

Решая относительно \(d\), получаем:

\(б=а{{г}^{к+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\ (г = \ sqrt [k + 1] {\ гидроразрыва {b} {а}} \)

Пример/упражнение 6. Найдите 2 средних геометрических между числами -15 и 1875.

Решение

При подаче заявления

\ (г = \ sqrt [k + 1] {\ гидроразрыва {b} {а}} \)

с \(b=375,~a=-15\) и \(k=2~\):

\ (г = \ sqrt [2 + 1] {\ гидроразрыва {1875} {-15}} \)

\(г=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 средних геометрических:

\(75,-375\)

Пример/упражнение 7. Человек вложил деньги и получал проценты каждый месяц в течение 6 месяцев, и его капитал увеличился на 10%. Предполагая, что ставка не изменилась, какова была ежемесячная процентная ставка?

Решение

Пусть \(С\) — вложенный капитал; конечная столица \(1.1C\); Для решения задачи необходимо разместить 5 средних геометрических, применяя формулу:

\ (г = \ sqrt [k + 1] {\ гидроразрыва {b} {а}} \)

С \(k=5,~b=1.1C\) и \(a=C.\)

\ (r = \ sqrt [5 + 1] {\ frac {1.1C} {C}} = \ sqrt [6] {1.1} = 1,016 \)

Полученная месячная ставка составила \(1,6%\)