Определение смешанных, единичных, однородных и гетерогенных фракций

Смешанный. Смешанная дробь состоит из целого числа, большего или равного единице, и правильной дроби, общего написания дроби. смешанный имеет вид: \(a + \frac{c}{d},\), компактное написание которого: \(a\frac{c}{d},\;\), то есть: \(a\ дробь {с} {d} = + \ гидроразрыв {с} {d} \). Число \(a\) называется целой частью смешанной дроби, а \(\frac{c}{d}\) - ее дробной частью.

однородный. Если две или более дроби имеют одинаковые знаменатели, то они называются подобными дробям. Например, дроби \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) однородны, потому что все они имеют один и тот же знаменатель, который в данном случае равен \(4\). В то время как дроби \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) не являются однородные дроби, так как знаменатель \(\frac{5}{2}\) равен \(2\), а знаменатель других дробей равно \(4\). Одним из преимуществ однородных дробей является то, что арифметические операции сложения и вычитания функций очень просты.

неоднородный. Если у двух или более дробей хотя бы две из них имеют разные знаменатели, то такие дроби называются разнородными. Следующие дроби неоднородны: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ дробь{2}{5}\).

единый. Дробь считается единицей, если числитель равен 1 \(1,\) \(2\). Следующие дроби являются примерами единичных дробей: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Словесное выражение смешанной дроби

смешанная фракция	Вербальное выражение
\(3\frac{1}{2} = \)	Целых три с половиной
\(5\frac{3}{4} = \)	Пять целых чисел и три четверти
\(10\разрыв{1}{8} = \)	Десять целых чисел с восьмой

Преобразование смешанной дроби в неправильную дробь

Смешанные дроби полезны для оценки, например, легко установить:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Однако в смешанных дробях обычно нецелесообразно выполнять такие операции, как умножение и деление, поэтому важно, как преобразовать в смешанную дробь.

На предыдущем рисунке представлена ​​смешанная дробь \(2\frac{3}{4}\), теперь каждое целое число состоит из четыре четверти, поэтому в 2 целых числах 8 четвертей, и к ним мы должны добавить остальные 3 четверти, то есть сказать:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

В целом:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

В следующей таблице показаны другие примеры.

смешанная фракция	Операции для выполнения	неделимая дробь
\(3\фракция{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\ гидроразрыва{7}{2}\)
\(5\фракция{3}{4}\)	\(\frac{{5\влево( 4 \вправо) + 3}}{4}\)	\(\ гидроразрыва{{23}}{4}\)
\(10\фракция{1}{8}\)	\(\frac{{10\влево( 8 \вправо) + 1}}{8}\)	\(\ гидроразрыв{{81}}{8}\)

Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, вычислите частное и остаток от деления числителя на знаменатель. Полученное частное будет целой частью смешанной дроби, а правильная дробь будет \(\frac{{{\rm{остаток}}}}{{{\rm{знаменатель}}}}\)

Пример

Чтобы преобразовать \(\frac{{25}}{7}\) в смешанную дробь:

За проведенные операции получаем:

В таблице ниже показаны другие примеры.

неделимая дробь	Вычисление частного и остатка	неделимая дробь
\(\ гидроразрыв{{25}}{7}\)		\(3\фракция{4}{7}\)
\(\ гидроразрыва{{35}}{8}\)		\(4\фракция{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\фракция{1}{5}\)

Повседневное употребление смешанных и правильных фракций

В повседневной жизни нам нужно мерить, покупать, сравнивать цены, предлагать скидки; для измерения нам нужны единицы измерения, и они не всегда предлагают целые единицы продукции, и вы не всегда платите целым количеством монет единицы.

Например, некоторые жидкости обычно продаются в контейнерах, содержимое которых составляет \(\frac{3}{4}\;\) литра, полгаллона или полутора галлонов. Может быть, когда вы идете покупать трубку, вы просите \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\), и вам не нужно указывать единицу измерения, в данном случае это дюйм.

Основные действия подобных дробей

Сумма \(\frac{3}{4}\) и \(\frac{2}{4}\) представлена ​​на следующей схеме:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

При этом вычитание делается следующим образом:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

В общем случае для однородных фракций:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Египтяне и единичные дроби

Египетская культура достигла выдающегося технологического развития, и этого не произошло бы без развития наравне с математикой. Есть исторические пережитки, где вы можете найти записи об использовании дробей в египетской культуре, с той особенностью, что они использовали только унитарные дроби.

Есть несколько случаев, когда записать дробь в виде суммы единичных дробей так же просто, как

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

В случае \(n = 2q + 1\), т. е. нечетного, мы имеем следующее:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Проиллюстрируем это двумя примерами.

Чтобы выразить \(\frac{2}{{11}}\); в этом случае имеем \(11 = 2\влево( 5 \вправо) + 1\), поэтому:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

то есть,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Чтобы выразить \(\frac{2}{{17}}\); в этом случае имеем \(17 = 2\влево( 8 \вправо) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Далее мы показываем некоторые дроби как сумму единичных дробей,

Доля	Выражение в виде суммы долей единиц	Доля	Выражение в виде суммы долей единиц
\(\ гидроразрыва{3}{п}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\ гидроразрыва{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\ гидроразрыва{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\ гидроразрыва{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\ гидроразрыва{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\ гидроразрыва{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\ гидроразрыва{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\ гидроразрыва{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\ гидроразрыва{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\ гидроразрыва{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\ гидроразрыва{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\фракция{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\ гидроразрыва{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\ гидроразрыва{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\ гидроразрыва{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\ гидроразрыва{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\ гидроразрыва{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\ гидроразрыва{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\ гидроразрыва{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\ гидроразрыв {{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Используя предыдущую таблицу, мы можем складывать дроби и выражать такие суммы; в виде суммы единичных дробей.

Примеры гетерогенных фракций

Пример 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\ гидроразрыва {1} {3} + \ гидроразрыва {1} {9}} \ справа) \)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\ frac {2} {5} + \ frac {4} {9} = \ left ( {\ frac {1} {2} + \ frac {1} {6}} \ right) + \ frac {1 {{15}} + \frac{1}{9}\)

Пример 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\ гидроразрыва {1} {2} + \ гидроразрыва {1} {{18}}} \ справа) \)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Наконец, мы можем выразить ту же дробь в виде суммы единичных дробей по-другому:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)