Определение эквивалентных дробей

Две или более дроби называются эквивалентными, если они представляют одну и ту же величину, т.
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\) называются эквивалентными.

Эквивалентные дроби: графическое представление

Рассмотрим квадрат, который мы разделим на четверти, трети, восьмые и двенадцатые части.

Из предыдущих рисунков мы замечаем следующие эквивалентности:

Как получить одну или несколько эквивалентных фракций?

Существует два основных метода получения дроби, эквивалентной данной дроби.

1. Умножьте числитель и знаменатель на одно и то же положительное число.

Примеры:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Он делится на один и тот же положительный общий делитель числителя и знаменателя.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Когда в дроби и числитель, и знаменатель делятся на один и тот же общий делитель, отличный от 1, говорят, что дробь уменьшилась.

неприводимые дроби

Дробь называется несократимой, если наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1.

Если \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), то дробь \(\frac{a}{b}\) называется неприводимой дробью.

Учитывая дробь \(\frac{a}{b}\), чтобы получить дробь, эквивалентную этой дроби, которая также неприводимая дробь числитель и числитель делятся на наибольший общий делитель \(а\;\) и \(б.\)

В следующей таблице приведены примеры несократимых и сократимых дробей; если он приводим, он показывает, как получить неприводимую эквивалентную дробь.

Доля	Наибольший общий делитель	Непреодолимый	неприводимая эквивалентная дробь
\(\ гидроразрыв{{14}}{{42}}\)	7	Нет	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\ гидроразрыва{3}{{25}}\)	1	Ага	\(\ гидроразрыва{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Нет	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\ гидроразрыва{5}{{24}}\)	1	Ага	\(\ гидроразрыва{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Нет	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Равные дроби: словесное представление.

В следующей таблице показаны два различных способа отображения эквивалентной информации с числовой точки зрения.

Словесная фраза	Эквивалентная фраза (числово)	Аргументация
В 1930 году в Мексике 4 человека из 25 говорили на родном языке.	В 1930 году в Мексике 16 человек из 100 говорили на родном языке.	Оба значения были умножены на 4.
В 1960 г. в Мексике 104 человека из каждой 1000 населения говорили на родном языке.	В 1960 году в Мексике 13 человек из 125 говорили на родном языке.	Оба данных были разделены на 8.

Эквивалентные дроби: десятичное представление

В таблице ниже показаны различные десятичные числа и эквивалентные дроби, которые их представляют.

Десятичное число	Доля	эквивалентная дробь	Операции
\(0.25\)	0,25 = \ (\ гидроразрыва {{25}} {{100}} \)	0,25 = \ (\ гидроразрыва {1} {4} \)	\(25 \дел 25 = 1\) \(100 \дел 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \фракция{7}{5}\)	\(14 \дел 2 = 1\) \(10 \дел 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \фракция {{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \фракция {{29}}{{200}}\)	\(145 \дел 5 = 29\) \(1000 \дел 5 = 200\)

Эквивалентные дроби: представление в процентах

В таблице ниже показаны различные десятичные числа и эквивалентные дроби, которые их представляют.

Десятичное число	Доля	эквивалентная дробь	Операции
20%	\(\ гидроразрыв {{20}}{{100}}\)	\(\ гидроразрыва{1}{5}\)	\(20 \дел 20 = 1\) \(100 \дел 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\ гидроразрыва{3}{2}\)	\(150 \дел 50 = 3\) \(100 \дел 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\ гидроразрыва {{11}}{{20}}\)	\(55 \дел 11 = 5\) \(100 \дел 5 = 20\)

Эквивалентные фракции: от разнородных к однородным

Имея две разнородные дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\), мы можем найти две дроби однородны таким образом, что одна дробь эквивалентна дроби \(\frac{a}{b}\;\), а другая \(\ гидроразрыва {с} {d} \).

Далее мы покажем две процедуры для выполнения того, что упомянуто в предыдущем абзаце.

Давайте посмотрим:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\ frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left(b\right)}}{{d\left(b\right)}}\)

В следующей таблице приведены некоторые примеры.

Ф. неоднородный	Операции	Ф. однородный
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \ гидроразрыв {{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Недостатком этого метода является то, что в процессе может быть получено очень большое количество; Во многих случаях его можно избежать, если вычислить наименьшее общее кратное знаменателей, а второй метод основан на вычислении наименьшего общего кратного.

Наименьшее общее кратное при вычислении дробей

Далее, на двух примерах, как получить однородные дроби, используя наименьшее общее кратное знаменателей, которое будет общим знаменателем участвующих дробей.

Рассмотрим дроби: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Наименьшее общее кратное \(12\) и \(18\) равно \(36\); сейчас

\(36 \дел 12 = 3\)

\(36 \дел 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Теперь рассмотрим дроби: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Наименьшее общее кратное \(10\), \(14\) и \(3\) равно \(140\); сейчас

\(140 \дел 10 = 14\)

\(140 \дел 14 = 10\)

\(140 \дел 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} {{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} {{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Из предыдущих рисунков мы замечаем следующий факт:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Вот другие примеры.

Ф. неоднородный	мин общие знаменатели	Операции	Ф. однородный
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \дел 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \дел 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \дел 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \дел 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \дел 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)