Квадратное/четвёртое определение уравнения

Уравнение второй степени или, в противном случае, квадратичное относительно неизвестного выражается в виде:
\(а{х^2} + Ьх + с = 0\)
Где неизвестное равно \(x\), если \(a, b\) и c - вещественные константы, причем \(a \ne 0.\)

Существует несколько методов решения квадратных уравнений, включая факторизацию, и в этом случае мы должны учитывать следующее свойство в соответствии с разрешением:

Если произведение двух чисел равно нулю, то возможны два варианта:

1. Оба равны нулю.
2. Если одно не равно нулю, то другое равно нулю

Сказанное выше можно выразить следующим образом:
Если \(pq = 0\), то \(p = 0\) или \(q = 0\).

Практический пример 1: решить уравнение \({x^2} – 8\)=0

\({х^2} – 8 = 0\)	Исходная ситуация
\({х^2} – 8 + 8 = 8\)	Добавьте 8 к обеим частям уравнения, чтобы найти \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Квадратный корень получается при поиске изолирующего \(x.\) 8 факторизуется и применяются свойства радикалов и степеней.
\(\влево| х \вправо| = 2\sqrt 2 \)	Вы получаете корень \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Решения \({x^2} – 8\)=0:
\(х = - 2\кв 2 ,\;2\кв 2 \)

Практический пример 2: Решите уравнение \({x^2} – 144\)=0

\({х^2} – 144 = 0\)	Исходная ситуация
\({х^2} – {12^2} = 0\)	Квадратный корень из 144 равен 12. Выявляется разность квадратов.
\(\влево( {х + 12} \вправо)\влево( {х - 12} \вправо) = 0\)	Разность квадратов учитывается
\(х + 12 = 0\) \(х = - 12\)	Рассмотрим возможность того, что множитель \(x + 12\) равен 0. Полученное уравнение решается.
\(х – 12 = 0\) \(х = 12\)	Рассмотрим возможность того, что множитель \(x – 12\) равен 0. Полученное уравнение решается.

Решения уравнения \({x^2} – 144 = 0\) являются

\(х = - 12,\;12\)

Практический пример 3: решить уравнение \({x^2} + 3x = 0\)

\({х^2} + 3х = 0\)	Исходная ситуация
\(х\влево({х + 3} \вправо) = 0\)	\(x\) идентифицируется как общий множитель и выполняется факторизация.
\(х = 0\)	Рассмотрим возможность того, что множитель \(x\) равен 0.
\(х + 3 = 0\) \(х = - 3\)	Рассмотрим возможность того, что множитель \(x – 12\) равен 0. Полученное уравнение решается.

Решения уравнения \({x^2} + 3x = 0\):
\(х = - 3,0\)

Практический пример 4: Решите уравнение \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({х^2} – 14х + 49 = 0\)	Исходная ситуация
\({х^2} – 14х + {7^2} = 0\)	Квадратный корень из 49 равен 7 и \(2x\влево(7\вправо) = 14x.\) Определен совершенный квадратный трехчлен.
\ ({\ влево ( {х - 7} \ вправо) ^ 2} = 0 \)	Совершенный квадратный трехчлен выражается как квадратный бином.
\(х - 7 = 0\) \(х = 7\)

Решение \({x^2} – 14x + 49 = 0\):
\(х = 7\)

Практический пример 5: Решите уравнение \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{х^2} – 23х + 12 = 0\)	Исходная ситуация
\(10{х^2} – 23х + 12 = 0\)	Произведение \(\влево({10}\вправо)\влево({12}\вправо) = 120 = \влево({-8}\вправо)\влево({-15}\вправо)\)
\(\влево({10{x^2} - 8x} \вправо) - 15x + 12 = 0\)	Это выражается как \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\влево( {5x - 4} \вправо) - 3\влево( {5x - 4} \вправо) = 0\)	Определите \(2x\) как общий множитель в первом слагаемом и разложите его на множители. Определите \(-3\) как общий делитель во втором слагаемом и разложите его.
\(\ влево( {5x - 4} \вправо)\влево( {2x - 3} \вправо) = 0\)	Фактор общего множителя \(5x - 4\)
\(5x - 4 = 0\) \ (х = \ гидроразрыва {4} {5} \)	Рассмотрим возможность того, что множитель \(5x – 12\) равен 0. Полученное уравнение решается.
\(2x - 3 = 0\) \ (х = \ гидроразрыва {3} {2} \)	Рассмотрим возможность того, что множитель \(2x - 3\) равен 0. Полученное уравнение решается.

Решения \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\):
\ (х = \ гидроразрыва {4} {5}, \; \ гидроразрыва {3} {2} \)

Практический пример 6. Решите уравнение \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({х^2} + 4х + 1 = 0\)	Исходная ситуация Трехчлен не является полным квадратом
\({х^2} + 4х + 1 - 1 = - 1\)	Добавьте -1 к каждой части уравнения.
\({х^2} + 4х = - 1\)	Поскольку \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\), добавляя \({2^2}\), мы получаем идеальный квадрат.
\({х^2} + 4х + 4 = - 1 + 4\)	Добавьте \({2^2}\;\) к каждой части уравнения. Левая сторона представляет собой полный квадрат.
\ ({\ влево ({х + 2} \ вправо) ^ 2} = 3 \)	Совершенный квадратный трехчлен выражается как квадратный бином.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения
\(\влево| {x + 2} \вправо| = \sqrt 3 \) \(x = - 2 \pm \sqrt 3 \)	Найдите \(х\).

Решения \({x^2} + 4x + 1 = 0\):
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \кв.3\)

Практический пример 7: Решите уравнение \(5{x^2} + 3x - 1 = 0\)

\(5{х^2} + 3х - 1 = 0\)	Исходная ситуация Трехчлен не является полным квадратом.
\(5{х^2} + 3х - 1 + 1 = 1\)	Добавьте 1 к каждой стороне уравнения
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Умножьте на каждую часть уравнения так, чтобы коэффициент при \({x^2}\) равнялся 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	продукт распространяется Поскольку \(\frac{1}{2}\left({\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), добавив \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) дает идеальный квадратный трехчлен.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Добавьте 3 к обеим частям уравнения, чтобы найти \({\left({x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Совершенный квадратный трехчлен выражается в виде кубического бинома.
\(\ sqrt {{{\ left( {x + \ frac {3} {{10}}} \ right)} ^ 2}} = \ sqrt {\ frac {{29}} {{100}}} \ )	Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29}}}{{10}}\)	Найдите \(х\).

Решения \(5{x^2} + 3x - 1 = 0\):
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Процедура, используемая в приведенном выше уравнении, будет использоваться для нахождения так называемой общей формулы для квадратичных решений.

Общая формула уравнения второй степени.

Общая формула квадратных уравнений

В этом разделе мы узнаем, как решить в общем виде квадратное уравнение

При \(a \ne 0\) рассмотрим уравнение \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Так как \(a \ne 0\) достаточно решить:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Исходная ситуация
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} - \frac{c}{a} = - \frac{c}{a}\)	Добавьте \( – \frac{c}{a}\) к каждой части уравнения.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = - \frac{c}{a}\)	Поскольку \(\frac{1}{2}\left({\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), добавив \({\left({ \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) дает идеальный квадратный трехчлен.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} - \frac{c}{a}\)	Левая часть уравнения представляет собой совершенный квадратный трехчлен.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} - 4{a^2}c}}{{4{ а^2}}}\)	Совершенный квадратный трехчлен выражается как квадратный бином. Алгебраическая дробь готова.
\(\ sqrt {{{\ left( {x + \ frac {b} {{2a}}} \ right)} ^ 2}} = \ sqrt {\ frac {{{b ^ 2} - 4 {a ^ 2}с}}{{4{а^2}}}} \)	Возьмите квадратный корень из каждой части уравнения.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} - 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Применяются радикальные свойства.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4{a^2}c}}}{{2a}}\)	Применяются свойства абсолютного значения.
\(x + \frac{b}{{2a}} - \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} - 4{a^2}c}} }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	К каждой стороне уравнения добавьте \( – \frac{b}{{2a}}\), чтобы найти \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Алгебраическая дробь готова.

Член \({b^2} – 4{a^2}c\) называется дискриминантом квадратного уравнения \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Когда дискриминант приведенного выше уравнения отрицателен, решения представляют собой комплексные числа и действительных решений нет. В этой заметке не рассматриваются сложные решения.

Учитывая квадратное уравнение \(a{x^2} + bx + c = 0\), если \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Тогда решения этого уравнения таковы:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Выражение:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Она называется общей формулой квадратного уравнения.

Практический пример 8: решить уравнение \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(к\)	\(б\)	\(с\)	дискриминация	реальные решения
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\влево( 3 \вправо)\влево( { – 5} \вправо) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} {6}\)

Решения уравнения:
\(\alpha = - 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Практический пример 9: Решите уравнение \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(к\)	\(б\)	\(с\)	дискриминация	реальные решения
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\влево( { – 4} \вправо)\влево(9 \вправо) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\влево({17} \вправо)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Решения уравнения:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Практический пример 10: Решите уравнение \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(к\)	\(б\)	\(с\)	дискриминация	реальные решения
\(5\)	-4	\(1\)	\ ({\ влево ( { - 4} \ вправо) ^ 2} - 4 \ влево ( 5 \ вправо) \ влево ( 1 \ вправо) = 16 - 20 = - 4 \)	Не имеет

Разные уравнения

Есть неквадратные уравнения, которые можно преобразовать в квадратное уравнение, мы увидим два случая.

Практический пример 11: Нахождение действительных решений уравнения \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

При замене переменной \(y = \sqrt x \) предыдущее уравнение остается таким:

\(6{у^2} = 5 - 13у\)

\(6{у^2} + 13у - 5 = 0\)

\(6{у^2} + 15у - 2у - 5 = 0\)

\(3y\влево( {2y + 5} \вправо) – \влево( {2y + 5} \вправо) = 0\)

\(\влево({2у + 5}\вправо)\влево({3у-1}\вправо) = 0\)

Поэтому \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Поскольку \(\sqrt x \) обозначает только положительные значения, мы будем рассматривать только:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Отвечать:

Единственное реальное решение:
\ (х = \ гидроразрыва {1} {9} \)

Рабочий пример 12: решить уравнение \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Делаем замену переменной:

\ (y = \ sqrt {\ frac {x} {{x - 5}}} \)

Получаем уравнение:

\(y - \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{у^2} – 6 = 5у\)

\(6{у^2} – 5у – 6 = 0\)

\(6{у^2} – 9у + 4у – 6 = 0\)

\(3y\влево( {2y – 3} \вправо) + 2\влево( {2y – 3} \вправо) = 0\)

\(\влево( {2у - 3} \вправо)\влево( {3у + 2} \вправо) = 0\)

Возможные значения \(y\):

\(y = - \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Из вышеперечисленного мы будем рассматривать только положительное решение.

\(\ sqrt {\ гидроразрыва {х} {{х - 5}}} = \ гидроразрыва {3} {2} \)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x - 45\)

\(5х=45\)

\(х = 9.\)

Решения: \(x = 9.\)