Определение экспоненциальной функции

Экспоненциальная функция моделирует различные природные явления и социальные и экономические ситуации, поэтому важно идентифицировать экспоненциальные функции в различных контекстах.

Напомним, что для числа \({a^1} = a, {a^2} = aa,\; {a^3} = aaa\) определено, вообще говоря, для любого \(n\ ) число натуральное:

В случае \(a \ne 0\) имеем, что: \({a^0} = 1,\;\) на самом деле, когда \(a \ne 0,\) имеет смысл проделать операцию \ (\frac{a}{a} = 1;\) при применении закона показателей имеем:

\(\ гидроразрыва {а} {а} = 1 \)

\({а^{1 – 1}} = 1\)

\({а^0} = 1.\)

При \(a = 0\) предыдущие рассуждения не имеют смысла, поэтому выражение \({0^0},\) лишено математической интерпретации.

В том случае, если \(b > 0\) и верно, что \({b^n} = a,\), говорят, что \(b\) является корнем n-й степени \(a\) и обычно обозначается как \ (b = {a ^ {\ frac {1} {n}}}, \; \) или \ (b = \ sqrt [n] {a} \).

Когда \(a < 0\), не существует действительного числа \(b\) такого, что \({b^2} = a;\), потому что \({b^2} \ge 0;\;\ ) поэтому выражения вида \({a^{\frac{m}{n}}}\), не будет учитываться при \(a < 0.\) В следующем алгебраическом выражении: \({a^n}\) \(a \ ) называется базой, а \(n\) называется показателем, \({a^n}\) называется степенью \(\;n\) числа \(a\) или также называется \(a\) в степени \(n,\;\)se соблюдать следующие законы показателей:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n - m}}\)	\({\left({{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left({{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left({ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\ left ( {{a ^ {\ frac {1} {n}}}} \ right) ^ m} = {\ left ( {{a ^ m}} \ right) ^ {\ frac {1} {п}}} = {а ^ {\ гидроразрыва {м} {п}}} \)	\({a^0} = 1\) для каждого \(a \ne 0\)

Показательная функция имеет вид:

\ (е \ влево ( х \ вправо) = {а ^ х} \)

где \(а > 0\) — константа, а независимая переменная — показатель степени \(х\).

Для анализа экспоненциальной функции рассмотрим три случая

Случай 1. Когда база \(a = 1.\)

В этом случае \(a = 1,\) функция \(f\left( x \right) = {a^x}\) является постоянной функцией.

Случай 2. Когда базис \(a > 1\)

В этом случае имеем следующее:

Значение \(х\)
\(х <0\)	\(0
\(х = 0\)	\({а^0} = 1\)
\(0	\(1
\(х = 1\)	\({а^х} = 1\)
\(х > 1\)	\ (а < {а ^ х} \)

Функция \(f\left( x \right) = {a^x}\) является строго возрастающей функцией, то есть если \({x_2} > {x_1}\), то:

\({а^{{х_2}}} > а_{}^{{х_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Когда явление моделируется с помощью экспоненциальной функции, где \(a > 1\), мы говорим, что оно демонстрирует экспоненциальный рост.

Случай 2 При базисе \(a < 1\).

Значение \(х\)
\(х <0\)	\({а^х} > 1\)
\(х = 0\)	\({а^0} = 1\)
\(0	\(0
\(х = 0\)	\({а^х} = 1\)
\(х > 1\)	\(0

Когда \(a < 1\), функция \(f\left( x \right) = {a^x}\) является строго убывающей функцией, то есть, если \({x_2} > {x_1}\), так:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Когда явление моделей с экспоненциальной функцией, с \(a < 1\), мы говорим, что он представляет собой распад или уменьшение экспоненциальный. Следующий график иллюстрирует поведение \({a^x}\) в трех различных случаях.

Приложения экспоненциальной функции

Пример 1. Рост населения

Мы будем обозначать через \({P_0}\) начальную популяцию и через \(r \ge 0\) скорость роста популяции, если скорость популяции остается постоянной во времени; функция

\(P\left( t \right) = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^t};\)

Найдите население в момент времени t.

Практический пример 1

Население Мексики в 2021 году составляет 126 миллионов человек, ежегодный прирост составляет 1,1%, Если этот рост сохранится, какое население будет в Мексике в 2031 году, в год 2021?

Решение

В этом случае \({P_o} = 126\) и \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011\), поэтому вы должны использовать:

\(P\влево(t\вправо) = {P_0}{\влево({1 + .0011} \вправо)^t}\)

В следующей таблице показаны результаты

Год	пройденное время (\(т\))	Расчет	Население (миллионы)
2021	0	\(P\влево(t\вправо) = 126{\влево({1,0011}\вправо)^0}\)	126
2031	10	\(P\влево(t\вправо) = 126{\влево({1,0011}\вправо)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\влево(t\вправо) = 126{\влево({1,0011}\вправо)^{30}}\)	174.95

Пример 2 Расчет сложных процентов

Банки предлагают годовую процентную ставку, но реальная ставка зависит от того, на сколько месяцев вы ее инвестируете; Например, если вам предлагается годовая процентная ставка r%, реальная месячная ставка равна \(\frac{r}{{12}}\)%, двухмесячная ставка равна \(\frac{r}{6}\)%, ежеквартально - \(\frac{r}{4}\)%, ежеквартально - \(\frac{r}{3}\)%, а семестр - \(\frac{r}{2}\)%.

Практический пример 2

Предположим, вы инвестируете 10 000 в банк, и они предлагают вам следующие годовые процентные ставки:

Срочные депозиты	Годовая ставка	периоды в году	фактическая ставка	Накоплено денег за \(k\) месяцев
два месяца	0.55%	6	\(\ frac{{0,55\%}}{6} = 0,091667{\rm{\%}}\)	\(10000{\left({1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
три месяца	1.87%	4	\(\ frac{{1,87\%}}{4} = 0,4675{\rm{\%}}\)	\(10000{\left({1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
шесть месяцев	1.56%	2	\ (\ гидроразрыва {{1,56 \%}} {4} = 0,78 {\ rm {\%}} \)	\ (10000 {\ влево ( {1 + 0,0078} \ вправо) ^ {\ гидроразрыва {k} {6}}} \)

Число \(e\), постоянный и непрерывный процент Эйлера.

Теперь предположим, что у нас есть первоначальный капитал \(C\), и мы инвестируем его по фиксированной ставке \(r > 0\), и мы делим год на \(n\) периодов; накопленный за год капитал равен:

\(A = \;C{\left({1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Чтобы проанализировать, как ведет себя накопленный капитал, когда \(n\), растет, перепишем накопленный капитал за один год:

\(A = \;C{\left({1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left({1 + \frac{1}) {{\ frac {n} {r}}}} \ right) ^ {\ left ( {\ frac {n} {r}} \ right) r}}, \)

делая \(m = \frac{n}{r}\), мы получаем:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

По мере роста \(n\) растет и \(m = \frac{n}{r}.\)

По мере роста \(m = \frac{n}{r},\) выражение \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) приближается к тому, что называется Постоянная Эйлера или число:

\(e \приблизительно 2,718281828 \ldots .\)

Константа Эйлера не имеет конечного или периодического десятичного выражения.

Имеем следующие приближения

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \ приблизительно C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \ приблизительно C{e^{rs}}.\)

К выражению:

\(А = \;С{е^г},\)

Мы можем интерпретировать это двояко:

1.- Как максимальная сумма, которую мы можем накопить за год, когда мы вкладываем капитал \(C,\;\) по годовой ставке \(r.\)

2.- Как сумма, которую мы накопили бы за год, если бы наш капитал постоянно реинвестировался по годовой ставке \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

это сумма, накопленная, если \(s\) лет инвестировано с постоянными процентами.

Бетонный пример 3

Теперь вернемся к части конкретного примера 2, где годовая ставка составляет 0,55% с двухмесячными платежами. Рассчитайте капитал, который накапливается, если первоначальный капитал равен 10 000 и реинвестируется полгода, два года, 28 месяцев.

\ (10 ​​{\ влево ( {1,00091667} \ вправо) ^ {\ гидроразрыва {6} {2}}} = 10. {\ rm {\;}} 027525 \)

как показано в приведенной ниже таблице, значение \(m = \frac{n}{r},\) не является «малым», а в приведенной выше таблице указано, что \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) близка к постоянной Эйлера.

Время	Количество периодов (\(k\))	Накопленный капитал в тысячах, реинвестируемый каждые два месяца
Полгода	3	\(10{\left({1,00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Два года	12	\(10{\left({1,00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 месяцев	19	\(10{\left({1,00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

Время	Время лет (\(с\))	Накопленный капитал, в тысячах, инвестировать с постоянным процентом
Полгода	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0,0055\влево({\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Два года	\(с = 2\)	\ (10 ​​{\ влево ( {1,00091667} \ вправо) ^ {0,0055 \ влево ( 2 \ вправо)}} = 10110. {\ rm {\;}} 607 \)
38 месяцев	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left({1,00091667} \right)^{\frac {{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Пример 2 Амортизация

Практический пример 1

Компьютер обесценивается на 30% каждый год, если компьютер стоит 20 000 песо, определите цену компьютера за \(t = 1,12,\;14,\;38\) месяцев.

В этом случае человек имеет:

\(P\влево(t\вправо) = 20000{\rm{\;}}{\влево({1 - 0,30} \вправо)^t}\)

Если \(t\) в годах, замена \(t\) в следующей таблице дает

время в месяцах	время в годах	расчеты	Численная величина
1	\(\ гидроразрыва{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left({1 - .30} \right)^{\frac {1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\влево(t\вправо) = 20000{\rm{\;}}{\влево({1 - .30} \вправо)^1}\)	14000
14	\(\ гидроразрыва{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left({1 - .30} \right)^{\frac {7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\ гидроразрыва{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left({1 - .30} \right)^{\frac {7}{6}}}\)	6464.0859